Bonjour,
les inégalités successives qu'on écrit se font de manière formelle, c'est-à-dire sous réserve qu'elles aient du sens.
Donc on raisonne de manière générale en supposant (implicitement) que ces inégalités ont du sens au niveau des indices.
Il y a seulement le cas où \(p=0\) qui donne \(0\leqslant v_n-v_n (=0)\leqslant \dfrac{1}{2^nu_n}\), ce qui est vrai bien entendu et ne demande pas d'écrire les inégalités en cascade.
Dès qu'on a \(p\geqslant 1\), on peut écrire une série de \(p\) inégalités en cascade avec simplification des termes.
Bonne continuation

Et en plus on n'a pas montré que 0 inférieur ou égal à v(n+p)-v(n), n'est-ce pas ?

Alors là je ne comprends plus rien, désolée...

Ensuite on écrit bien pour p-2 donc p supérieur ou égal à 2 ?

Mais donc on est plus du tout dans un cas général ?

Bonjour,
si \(p=0\), tu as un cas particulier trivial : \(v_n-v_n=0\) et il n'y a rien à faire, l'encadrement en bien évidemment vrai.
Tout le travail que l'on a fait s'applique avec \(p\geqslant 1\).
Ces inégalités sont toujours écrites sous réserve d'avoir du sens car le problème se posera si tu écris l'inégalité suivante et tu auras \(p-2\).
Si on commence à dire "et si \(p=1\) ? ", on n'en sortira pas : c'est le principe d'une écriture formelle qui permet de montrer des mécanismes en supposant que les conditions d'écritures soient vérifiées.
Bonne continuation

D'accord !

Et je me suis aperçu d'une chose :

Pourquoi aurait-on 1/u(n+p-1) inférieur ou égal à 1/u(n) ?

Si p=0 il y a par exemple un problème, non ?

Merci beaucoup.

Bonjour,
ta somme vaut : \(\text{premier terme}\times \dfrac{1-\text{raison}^{\text{nbre de termes}}}{1-\text{raison}}=\dfrac{1}{2^{n+1}}\times \dfrac{1-\dfrac{1}{2^p}}{1-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{2^n}\times \left(1-\dfrac{1}{2^p}\right)\leqslant \dfrac{1}{2^n}\) : il faut ensuite majorer par 1.
Donc on a bien le résultat.
Bonne continuation

Merci beaucoup.

Et pour calculer 1/2^(n+p) + ... + 1/2^(n+1), je reconnais bien une suite géométrique de raison 1/2.

Mais pour moi cette somme vaut d'après la formule 1/2^p et non 1/2^n comme le dit l'énoncé... Alors où est l'erreur ?

Merci encore.

Bonjour,
j'ai quand même l'impression d'avoir fait tout l'exercice....
Je t'ai dit d'exprimer les inégalités que tu avais déjà obtenues :
\(v_{n+1}-v_n=\dfrac{1}{2^{n+1}}\ln\left(1+\dfrac{1}{u_n}\right)\leqslant \dfrac{1}{2^{n+1}}\dfrac{1}{u_n}\) d'après la relation du ln
tu écris ces relations aux rangs :
\(v_{n+p}-v_{n+p-1}=\dfrac{1}{2^{n+p}}\ln\left(1+\dfrac{1}{u_{n+p-1}}\right)\leqslant \dfrac{1}{2^{n+p}}\dfrac{1}{u_{n+p-1}}\leqslant \dfrac{1}{2^{n+p}} \dfrac{1}{u_n}\) car ta suite \((u_n)\) est croissante
puis la suivante....
jusqu'à \(v_{n+1}-v_n=\dfrac{1}{2^{n+1}}\ln\left(1+\dfrac{1}{u_n}\right)\leqslant \dfrac{1}{2^{n+1}}\dfrac{1}{u_n}\)
il y a des simplification dans le membre du milieu et tu obtiens \(v_{n+p}-v_n\)
À droite, tu as : \(\left(\dfrac{1}{2^{n+p}}+....+\dfrac{1}{2^{n+1}}\right)\dfrac{1}{u_n}\) c'est la somme des termes d'une suite géométrique que tu sais calculer et là je te laisse faire.
Bonne continuation

Merci beaucoup !

Et j'ai une toute dernière question : pour la 3.b vous m'aviez dit de faire des encadrements successifs. C'est ce que j'ai fait mais en fait je me suis trompée, je n'arrive pas à trouver le résultat demandé par la question...

Est-ce que vous pourriez m'aider une dernière fois s'il vous plaît ?

Merci encore.

Bonjour,
ta suite \((u_n)\) est croissante donc elle est minorée par son premier terme : \(u_n\geqslant u_0\) pour tout entier \(n\geqslant 0\) donc pour tout entier \(n\), tu as \(\dfrac{1}{2^nu_n}\leqslant \dfrac{1}{2^nu_0}\) qui est le terme général d'une série convergente (série géométrique) donc d'après les propriété de comparaison des séries : http://uel.unisciel.fr/mathematiques/se ... re_09.html, tu obtiens que ta série de terme général \(\dfrac{1}{2^nu_n}\) est convergente.
Bonne conclusion

Bonjour,

Merci beaucoup pour ces explications qui m'aident.
J'ai réussi à trouver l'équivalent !

Par contre je bloque encore à la dernière question...

Par quoi majorer ? Et ensuite une fois qu'on a la majoration que peut-on faire ?

Merci beaucoup, je suis censée rendre ce travail demain....

Bonjour
si tu sais que \(2^n\alpha-\ln(u_n)\) tend vers 0, alors tu as l'équivalent \(\ln(u_n)\sim 2^n\alpha\) et il te reste à passer à l'exponentielle...
Pour la convergence de la série, il suffit de la majorer par le terme général d'une série convergente de la forme \(\dfrac{1}{2^n}\).
Bonne continuation

Merci beaucoup.

Et comment peut-on ensuite trouver un équivalent de (u_n) ?

Et pourriez-vous me donner une piste pour la dernière question ?

Merci encore de m'aider.

Bonjour,
Tu as démontré que pour tout entier naturel \(n\) et \(p\), tu as :
\(0\leqslant v_{n+p}-v_n\leqslant \dfrac{1}{2^{n}}\dfrac{1}{u_n}\) donc en multipliant par \(2^n\), tu as :
\(0\leqslant 2^n v_{n+p}-2^nv_n\leqslant\dfrac{1}{u_n}\) or \(2^nv_n\) est égale à \(\ln(u_n\) donc tu as :
pour tout entier \(p\) :
\(0\leqslant 2^n v_{n+p}-\ln(u_n)\leqslant \dfrac{1}{u_n}\) donc en faisant tendre \(p\) vers \(+\infty\) et sachant que \(v_{n+p}\to \alpha\), on a pour tout entier \(n\) :
\(0\leqslant 2^n\alpha-\ln(u_n)\leqslant \dfrac{1}{u_n}\)
Ensuite, ceci étant vrai pour tout entier \(n\) et sachant que \(\dfrac{1}{u_n}\to 0\) (car \(u_n\to +\infty\)), tu appliques le théorème des gendarmes qui t'assure que la suite \( (2^n\alpha-\ln(u_n))\) est convergente de limite 0.
Bonne continuation

Merci beaucoup pour votre réponse.

J'ai continué le calcul de la question 3.b et cela fonctionne bien, merci beaucoup !

Pour la 3.c, comment puis-je trouver la limite demandée ? Je n'ai pas réussi...

Et pour l'équivalent, il faut le déduire de quoi ? Je sais seulement que la limite du rappirt de u_n et de l'équivalent doit donner 1...
Comment donc trouver l'équivalent ?

Merci encore pour votre aide.