Exo suites

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Re: Exo suites

par sos-math(21) » jeu. 12 déc. 2019 07:22

Bonjour,
les inégalités successives qu'on écrit se font de manière formelle, c'est-à-dire sous réserve qu'elles aient du sens.
Donc on raisonne de manière générale en supposant (implicitement) que ces inégalités ont du sens au niveau des indices.
Il y a seulement le cas où p=0 qui donne 0vnvn(=0)12nun, ce qui est vrai bien entendu et ne demande pas d'écrire les inégalités en cascade.
Dès qu'on a p1, on peut écrire une série de p inégalités en cascade avec simplification des termes.
Bonne continuation

Re: Exo suites

par Inès » mer. 11 déc. 2019 22:30

Et en plus on n'a pas montré que 0 inférieur ou égal à v(n+p)-v(n), n'est-ce pas ?

Re: Exo suites

par Inès » mer. 11 déc. 2019 21:50

Alors là je ne comprends plus rien, désolée...

Ensuite on écrit bien pour p-2 donc p supérieur ou égal à 2 ?

Mais donc on est plus du tout dans un cas général ?

Re: Exo suites

par sos-math(21) » mer. 11 déc. 2019 21:39

Bonjour,
si p=0, tu as un cas particulier trivial : vnvn=0 et il n'y a rien à faire, l'encadrement en bien évidemment vrai.
Tout le travail que l'on a fait s'applique avec p1.
Ces inégalités sont toujours écrites sous réserve d'avoir du sens car le problème se posera si tu écris l'inégalité suivante et tu auras p2.
Si on commence à dire "et si p=1 ? ", on n'en sortira pas : c'est le principe d'une écriture formelle qui permet de montrer des mécanismes en supposant que les conditions d'écritures soient vérifiées.
Bonne continuation

Re: Exo suites

par Inès » mer. 11 déc. 2019 21:29

D'accord !

Et je me suis aperçu d'une chose :

Pourquoi aurait-on 1/u(n+p-1) inférieur ou égal à 1/u(n) ?

Si p=0 il y a par exemple un problème, non ?

Merci beaucoup.

Re: Exo suites

par sos-math(21) » mer. 11 déc. 2019 21:25

Bonjour,
ta somme vaut : premier terme×1raisonnbre de termes1raison=12n+1×112p112=12n×(112p)12n : il faut ensuite majorer par 1.
Donc on a bien le résultat.
Bonne continuation

Re: Exo suites

par Inès » mer. 11 déc. 2019 20:19

Merci beaucoup.

Et pour calculer 1/2^(n+p) + ... + 1/2^(n+1), je reconnais bien une suite géométrique de raison 1/2.

Mais pour moi cette somme vaut d'après la formule 1/2^p et non 1/2^n comme le dit l'énoncé... Alors où est l'erreur ?

Merci encore.

Re: Exo suites

par sos-math(21) » mer. 11 déc. 2019 18:55

Bonjour,
j'ai quand même l'impression d'avoir fait tout l'exercice....
Je t'ai dit d'exprimer les inégalités que tu avais déjà obtenues :
vn+1vn=12n+1ln(1+1un)12n+11un d'après la relation du ln
tu écris ces relations aux rangs :
vn+pvn+p1=12n+pln(1+1un+p1)12n+p1un+p112n+p1un car ta suite (un) est croissante
puis la suivante....
jusqu'à vn+1vn=12n+1ln(1+1un)12n+11un
il y a des simplification dans le membre du milieu et tu obtiens vn+pvn
À droite, tu as : (12n+p+....+12n+1)1un c'est la somme des termes d'une suite géométrique que tu sais calculer et là je te laisse faire.
Bonne continuation

Re: Exo suites

par Inès » mer. 11 déc. 2019 18:16

Merci beaucoup !

Et j'ai une toute dernière question : pour la 3.b vous m'aviez dit de faire des encadrements successifs. C'est ce que j'ai fait mais en fait je me suis trompée, je n'arrive pas à trouver le résultat demandé par la question...

Est-ce que vous pourriez m'aider une dernière fois s'il vous plaît ?

Merci encore.

Re: Exo suites

par sos-math(21) » mer. 11 déc. 2019 17:46

Bonjour,
ta suite (un) est croissante donc elle est minorée par son premier terme : unu0 pour tout entier n0 donc pour tout entier n, tu as 12nun12nu0 qui est le terme général d'une série convergente (série géométrique) donc d'après les propriété de comparaison des séries : http://uel.unisciel.fr/mathematiques/se ... re_09.html, tu obtiens que ta série de terme général 12nun est convergente.
Bonne conclusion

Re: Exo suites

par Inès » mer. 11 déc. 2019 17:34

Bonjour,

Merci beaucoup pour ces explications qui m'aident.
J'ai réussi à trouver l'équivalent !

Par contre je bloque encore à la dernière question...

Par quoi majorer ? Et ensuite une fois qu'on a la majoration que peut-on faire ?

Merci beaucoup, je suis censée rendre ce travail demain....

Re: Exo suites

par sos-math(21) » mer. 11 déc. 2019 07:56

Bonjour
si tu sais que 2nαln(un) tend vers 0, alors tu as l'équivalent ln(un)2nα et il te reste à passer à l'exponentielle...
Pour la convergence de la série, il suffit de la majorer par le terme général d'une série convergente de la forme 12n.
Bonne continuation

Re: Exo suites

par Inès » mar. 10 déc. 2019 19:51

Merci beaucoup.

Et comment peut-on ensuite trouver un équivalent de (u_n) ?

Et pourriez-vous me donner une piste pour la dernière question ?

Merci encore de m'aider.

Re: Exo suites

par sos-math(21) » mar. 10 déc. 2019 18:00

Bonjour,
Tu as démontré que pour tout entier naturel n et p, tu as :
0vn+pvn12n1un donc en multipliant par 2n, tu as :
02nvn+p2nvn1un or 2nvn est égale à ln(un donc tu as :
pour tout entier p :
02nvn+pln(un)1un donc en faisant tendre p vers + et sachant que vn+pα, on a pour tout entier n :
02nαln(un)1un
Ensuite, ceci étant vrai pour tout entier n et sachant que 1un0 (car un+), tu appliques le théorème des gendarmes qui t'assure que la suite (2nαln(un)) est convergente de limite 0.
Bonne continuation

Re: Exo suites

par Inès » mar. 10 déc. 2019 03:11

Merci beaucoup pour votre réponse.

J'ai continué le calcul de la question 3.b et cela fonctionne bien, merci beaucoup !

Pour la 3.c, comment puis-je trouver la limite demandée ? Je n'ai pas réussi...

Et pour l'équivalent, il faut le déduire de quoi ? Je sais seulement que la limite du rappirt de u_n et de l'équivalent doit donner 1...
Comment donc trouver l'équivalent ?

Merci encore pour votre aide.

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