par sos-math(21) » jeu. 10 oct. 2019 21:08
Bonjour,
les polynômes \(T_n\) sont tous de degré \(n\) et pour \(n\geqslant 1\), leur coefficient dominant est \(2^{n-1}\) : pour ce dernier, il faut donc que tu fasses une preuve par récurrence à partir de \(n=1\)
Pour la 1.c, l'identification te permet d'obtenir des relations entre les coefficients de manière générale, donc il n'y a pas besoin de preuve par récurrence.
Pour la fin l'identité \(T_n(\cos(a))=\cos(na)\) nous donne une correspondance : si \(a\) est une solution de l'équation de l'équation \(\cos(na)=0\), alors \(\cos(a)\) est une racine de \(T_n\).
Ensuite, si on résout \(\cos(na)=0\) cela équivaut à \(na=\dfrac{\pi}{2} (\pi)\) soit \(a=\dfrac{\pi}{2n} \text{modulo} \left(\dfrac{\pi}{n}\right)\), ce qui donne bien \(n\) valeurs et les \(n\) racines de \(T_n\) seront donc les \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2n}\right) \text{modulo}\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\), qui sont bien des valeurs de l'intervalle \([-1\,;\,1]\) car la fonction cosinus est à valeurs dans \([-1\,;\,1]\).
Bonne conclusion
Bonjour,
les polynômes \(T_n\) sont tous de degré \(n\) et pour \(n\geqslant 1\), leur coefficient dominant est \(2^{n-1}\) : pour ce dernier, il faut donc que tu fasses une preuve par récurrence à partir de \(n=1\)
Pour la 1.c, l'identification te permet d'obtenir des relations entre les coefficients de manière générale, donc il n'y a pas besoin de preuve par récurrence.
Pour la fin l'identité \(T_n(\cos(a))=\cos(na)\) nous donne une correspondance : si \(a\) est une solution de l'équation de l'équation \(\cos(na)=0\), alors \(\cos(a)\) est une racine de \(T_n\).
Ensuite, si on résout \(\cos(na)=0\) cela équivaut à \(na=\dfrac{\pi}{2} (\pi)\) soit \(a=\dfrac{\pi}{2n} \text{modulo} \left(\dfrac{\pi}{n}\right)\), ce qui donne bien \(n\) valeurs et les \(n\) racines de \(T_n\) seront donc les \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2n}\right) \text{modulo}\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\), qui sont bien des valeurs de l'intervalle \([-1\,;\,1]\) car la fonction cosinus est à valeurs dans \([-1\,;\,1]\).
Bonne conclusion