Bonsoir,

Je réponds sans doute un peu tardivement du coup, mais il me semble important de rebondir sur ton dernier message.
L'affirmation "Si on a a<b et k>0, alors a<kb ?" est fausse.
Il te suffit de trouver un contre-exemple, avec une valeur de k comprise entre 0 et 1...

bonne continuation
sosmaths

Une dernière question sur un point que j'aimerais utiliser dans une question :

Si on a a<b et k>0, peut-on écrire que a<kb ?

Merci beaucoup.

Cette propriété devrait-elle me permettre de répondre à la question ?

Merci, la fin approche !

Puisque tu en parles, une précision sur la composition via une propriété qui peut servir parfois :
exp(f(x)) équivaut à exp(g(x)) lorsque x tend vers a si et seulement si la limite en a de f(x) - g(x) est égale à 0.

D'accord, donc quand je pars de g(un)<g(1/ln(n)), j'obtiens :

un<exp(1-ln(n)) Est-ce correct ? Mais ce n'est pas le résultat demandé...

Et pour la 8.b, je ne vois pas comment déduire de la 8.a un équivalent de n*un comme on ne peut pas composer les équivalents...

Désolé de vous déranger autant, et merci infiniment pour l'aide précieuse.

pas de souci pour utiliser le forum, même en postbac, mais dans ce cas, précise-le en choisissant le bon dossier.

J'ai tapé trop vite pour te répondre rapidement, mais vu le résultat de la question, tu as bien compris qu'il s'agissait de 1/(ln n).

Je précise ma réponse pour le 8)b. Je ne t'invitais pas à utiliser directement la composition mais apparemment la piste était trop peu précisé… pour déterminer l'équivalent de ln (nUn), tu es parti d'un encadrement j'imagine, il suffirait donc dans ce cas, d'encadrer nUn et ensuite 1/(nUn) puis
1 - 1/(nUn) qui correspond à ton erreur relative. chaque étape permet d'obtenir un équivalent de l'élément encadré, si ton encadrement est suffisamment précis et... s'il est utile/demandé.

Bonne fin de rédaction de ton devoir
sosmaths

Oui, classe préparatoire... Je ne savais pas qu'il avait un dossier post-bac, vraiment désolé... J'utilisais ce site au lycée et j'ai gardé l'habitude... En tout cas, votre aide est toujours très appréciable !

Oui, j'ai traité la 6a) en partant de Un < An et en utilisant le sens de variation de Gn (strictement croissante sur IR) ce qui permet
de conclure que Gn(Un) < Gn(An) et ensuite en calculant chacune des images on obtient Un < 1/LN(n), et non 1/n comme vous l'avez écrit...

Pour la 6.b, j'ai donc calculé Gn(1/ln(n))=exp(1-ln(n)).

Donc : un<exp(1-ln(n))... Est-ce correct ? Je ne vois pas comment terminer...

Pour le 8 b), déduis du a) un équivalent de n*Un, puis de 1/(n*Un)…
si tu relis mon aide concernant l'erreur relative, tu auras un lien avec ce que je viens d'écrire au-dessus.

A bientôt sur le forum et bon courage pour la fin de tes recherches.
Sosmaths

quelle formation suis-tu? classe préparatoire?
si tel est le cas, pense à mettre tes questions dans le dossier post-bac la prochaine fois...

L'énoncé du 6b) commence par "en réitérant la méthode ..."
Le calcul des images permet d'obtenir une inégalité avec la même méthode que proposée au 6)a, comme le demande l'énoncé.

Je suppose que tu as traité le 6a) en partant de Un < An et en utilisant le sens de variation de Gn (strictement croissante sur IR) ce qui permet
de conclure que Gn(Un) < Gn(An) et ensuite en calculant chacune des images on obtient Un < 1/n.

DOnc si tu réitères (recommences) cette méthode avec l'inégalité Un < 1/(ln n) à la place de Un < 1/n, tu as espoir de trouver une autre inégalité, peut-être celle de la question du coup…

Et enfin, certains de mes camarades disent à la 8.b qu'ils ont un équivalent plus précis de un, qui est 1/n + ln(n)/n².

Comment ont-ils ceci et est-ce que cela répond à la question ?

Merci encore pour l'aide.

Merci beaucoup pour vos 3 réponses, et pas de problème pour la forme sans éditeur de la réponse, je préfère effectivement avoir une réponse que pas du tout car oui, je suis un peu pressé comme je dois le rendre demain...

Pour la 6.b : pourquoi faudrait-il calculer Gn(1/ln(n)) ? On a Gn=exp(1-ln(n)). Mais je ne vois pas comment je pourrais en déduire l'inégalité ensuite...

Pour la 8.b : l'erreur relative serait donc de 1 - 1/(nUn) ? Comment peut-on déduire un équivalent de cette quantité en s'aidant de la 8.a ? Là je ne vois pas, désolé...

Merci encore pour l'aide, j'espère que vous aurez encore un peu de temps ce soir...

Pour le 8b):

L'erreur absolue quand tu considères l'équivalence entre Un et 1/n est me semble-t-il Un - 1/n
L'erreur relative serait donc (Un - 1/n)/Un = 1 - 1/(nUn).

Bonne soirée et bon courage pour tes dernières recherches
sosmaths

PS: Puis-je savoir dans quelle classe/section tu étudies actuellement? Dans le supérieur j'imagine, car les équivalents ne sont pas du programme de terminale S.

Piste pour le 6b) :

Un < 1/(ln n) pour tout entier n supérieur ou égal à 3.
Or, la fonction Gn est croissante sur IR, (voir signe de sa dérivée au besoin) : que peux-tu en déduire pour les images de Un et 1/(ln n) par la fonction Gn.

Bonne recherche

Pour répondre à l'une de tes questions: pourquoi a-t-on Gn(Un)=Un?
Il faut reprendre la définition de Un : c'est la solution non triviale de l'équation (En): n^x = nx.
La solution évidente est x = 1 bien sûr.
x solution de (En) équivaut à n^x - nx = 0 et en factorisant par n: n(n^(x-1) - x) = 0 soit n*Fn(x) = 0.
Comme Un est solution de (En), Fn(Un) = 0 donc n^(Un-1) - Un = 0 soit n^(Un-1) = Un ce qui signifie Gn(Un) = Un.
Désolé pour la forme de ma réponse, je n'ai pas utilisé l'éditeur d'équation car tu sembles pressé et que cela me prend plus de temps.