Bonne continuation à toi aussi.

SoSMath.

Exercice clos, merci à vous d'avoir vérifié mes réponses.

Je vous souhaite une bonne continuation :)

A bientôt.

[i][size=85]Maxime[/size][/i]

[quote]5) On note [tex]P=\begin{pmatrix}\sqrt{3} & \sqrt{3}\\-1 & 1
\end{pmatrix}[/tex], montrer que [tex]D=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}b & 0\\0 & a
\end{pmatrix}[/tex].[/quote]

[tex]D=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{6} & -\frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{1}{2}
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2 & 3\\1 & 2
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}\sqrt{3} & \sqrt{3}\\-1 & 1
\end{pmatrix}[/tex]
[tex]D=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}\frac{-3+2\sqrt{3}}{6} & \frac{-2+\sqrt{3}}{2}\\\frac{3+2\sqrt{3}}{6} & \frac{2+\sqrt{3}}{2}
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}\sqrt{3} & \sqrt{3}\\-1 & 1
\end{pmatrix}[/tex]
[tex]D=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2-\sqrt{3} & 0\\0 & 2+\sqrt{3} \end{pmatrix}[/tex]
[tex]D=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}b & 0\\0 & a
\end{pmatrix}[/tex]

Maxime,

c'est toujours mieux de justifier !

SoSMath.

Bonsoir (9) :)

[quote]En déduire que les fractions suivantes sont irréductibles :

1) [tex]\frac{x_n}{y_n}[/tex]

2) [tex]\frac{x_{n+1}}{x_n}[/tex]

3) [tex]\frac{y_{n+1}}{y_n}[/tex][/quote]

Une fraction est irréductible si et seulement si le PGCD(numérateur, dénominateur)=1.

[tex]\longrightarrow[/tex] Grâce à la [b]question 3)[/b] il est trivial d'affirmer que :

[tex]PGCD(x_n, y_n)=1[/tex]
[tex]PGCD(x_{n+1}, x_n)=1[/tex]
[tex]PGCD(y_{n+1}, y_n)=1[/tex]

D'après le théorème de Bachet-Bézout...

Ma réponse est suffisante ou je dois développer en disant que [tex]PGCD(a²,b²)=PGCD(a,b)[/tex] ?

C'est très bien Maxime.

SoSMath.

Avec votre technique,

Repérons que [tex]ab=1[/tex].

[tex]a^nb^n=(ab)^n=((2+V3)(2-V3))^n=1^n=1[/tex]

J'ai compris où vous voulez en venir.

Par curiosité, qu'en pensez-vous ?

[quote]3) Montrer que [tex]x_n^2-3y_n^2=1[/tex] et que [tex]x_ny_{n+1}-x_{n+1}y_n=1[/tex].[/quote]

[tex]x_{n+1}^2-3y_{n+1}^2 = (2x_n+3y_n)^2-3(x_n+2y_n)^2[/tex]
[tex]x_{n+1}^2-3y_{n+1}^2 = 4x_n^2+12x_ny_n+9y_n^2-(3x_n^2+12x_ny_n+12y_n^2)[/tex]
[tex]x_{n+1}^2-3y_{n+1}^2 = 4x_n^2+12x_ny_n+9y_n^2-3x_n^2-12x_ny_n-12y_n^2[/tex]
[tex]x_{n+1}^2-3y_{n+1}^2 = x_n^2-3y_n^2[/tex]

La suite [tex](x_n^2-3y_n^2)_{n\in\mathbb{N}}[/tex] est constante ce qui signifie que l'ensemble de ses termes est égal à [tex]x_0^2-3y_0^2[/tex] où :

[tex]y_0=0[/tex]
[tex]x_0=1[/tex].

Ainsi, [tex]x_n^2-3y_n^2 = x_0^2-3y_0^2 = 1^2-3\times0^2 = 1[/tex]

[tex]x_ny_{n+1}-x_{n+1}y_n=x_n(x_n+2y_n)-y_n(2x_n+3y_n)[/tex]
[tex]x_ny_{n+1}-x_{n+1}y_n=x_n^2+2y_nx_n-2y_nx_n-3y_n^2[/tex]
[tex]x_ny_{n+1}-x_{n+1}y_n=x_n^2-3y_n^2[/tex]
[tex]x_ny_{n+1}-x_{n+1}y_n=1[/tex]

Oui ce qui est égal à [tex]a^n\times b^n[/tex] = [tex](a\times b)^n[/tex] tu remplaces ensuite a et b par leur valeur.

Identité remarquable (la "troisième)

Je tombe sur [tex]x_n²-3y_n²[/tex] mais comment prouver égal à un ?

Par rapport à la question le plus simple c'est ce qui est expliqué juste avant.

J'ai pensé à calculer [tex]x_{n+1}^2-3y_{n+1}^2[/tex] et espère tomber sur [tex]x_{n}^2-3y_{n}^2[/tex] ce qui prouverait la suite ([tex]x_{n+1}^2-3y_{n+1}^2[/tex]) est constante et que tous ses termes valent [tex]x_0²-3y_0²[/tex].

Pour cette égalité [tex]x_n^2-3y_n^2=1[/tex] je te conseille de calculer [tex]a^n\times b^n[/tex] le résultat est rapide.
Ensuite tu devras utiliser le résultat pour démontrer la seconde égalité [tex]x_ny_{n+1}-x_{n+1}y_n=1[/tex]
Je te laisse faire les calculs.

[quote]3) Montrer que [tex]x_n^2-3y_n^2=1[/tex] et que [tex]x_ny_{n+1}-x_{n+1}y_n=1[/tex].[/quote]

Démonstration par récurrence ? Grâce aux deux questions précédentes ?

Avec quelle méthode gagne-t-on au change ?

Oui c'est ça