Arithmétique

Répondre


Veuillez faire glisser les différentes réponses possibles dans la liste appropriée. Ceci est une mesure permettant de lutter contre les inscriptions automatisées.
Propositions de réponse
  • Vert
  • Bleu
  • Noir
  • Rouge
Réponse

Aide syntaxe LaTeX
Les BBCodes sont activés
[img] est désactivé
[flash] est désactivé
[url] est activé
Les smileys sont désactivés

Revue du sujet
   

Étendre la vue Revue du sujet : Arithmétique

Re: Arithmétique

par SoS-Math(9) » sam. 21 avr. 2018 21:11

Bonne continuation à toi aussi.

SoSMath.

Re: Arithmétique

par Maxime » sam. 21 avr. 2018 20:26

Exercice clos, merci à vous d'avoir vérifié mes réponses.

Je vous souhaite une bonne continuation :)

A bientôt.

Maxime

Re: Arithmétique

par Maxime » sam. 21 avr. 2018 19:06

5) On note P=(3311), montrer que D=P1AP=(b00a).
D=P1AP=(36123612)×(2312)×(3311)
D=P1AP=(3+2362+323+2362+32)×(3311)
D=P1AP=(23002+3)
D=P1AP=(b00a)

Re: Arithmétique

par SoS-Math(9) » sam. 21 avr. 2018 18:54

Maxime,

c'est toujours mieux de justifier !

SoSMath.

Re: Arithmétique

par Maxime » sam. 21 avr. 2018 17:17

Bonsoir (9) :)
En déduire que les fractions suivantes sont irréductibles :

1) xnyn

2) xn+1xn

3) yn+1yn
Une fraction est irréductible si et seulement si le PGCD(numérateur, dénominateur)=1.

Grâce à la question 3) il est trivial d'affirmer que :

PGCD(xn,yn)=1
PGCD(xn+1,xn)=1
PGCD(yn+1,yn)=1

D'après le théorème de Bachet-Bézout...

Ma réponse est suffisante ou je dois développer en disant que PGCD(a²,b²)=PGCD(a,b) ?

Re: Arithmétique

par SoS-Math(9) » sam. 21 avr. 2018 17:14

C'est très bien Maxime.

SoSMath.

Re: Arithmétique

par Maxime » sam. 21 avr. 2018 17:02

Avec votre technique,

Repérons que ab=1.

anbn=(ab)n=((2+V3)(2V3))n=1n=1

Re: Arithmétique

par Maxime » sam. 21 avr. 2018 16:45

J'ai compris où vous voulez en venir.

Par curiosité, qu'en pensez-vous ?
3) Montrer que x2n3y2n=1 et que xnyn+1xn+1yn=1.
x2n+13y2n+1=(2xn+3yn)23(xn+2yn)2
x2n+13y2n+1=4x2n+12xnyn+9y2n(3x2n+12xnyn+12y2n)
x2n+13y2n+1=4x2n+12xnyn+9y2n3x2n12xnyn12y2n
x2n+13y2n+1=x2n3y2n

La suite (x2n3y2n)nN est constante ce qui signifie que l'ensemble de ses termes est égal à x203y20 où :

y0=0
x0=1.

Ainsi, x2n3y2n=x203y20=123×02=1

xnyn+1xn+1yn=xn(xn+2yn)yn(2xn+3yn)
xnyn+1xn+1yn=x2n+2ynxn2ynxn3y2n
xnyn+1xn+1yn=x2n3y2n
xnyn+1xn+1yn=1

Re: Arithmétique

par SoS-Math(33) » sam. 21 avr. 2018 16:28

Oui ce qui est égal à an×bn = (a×b)n tu remplaces ensuite a et b par leur valeur.

Re: Arithmétique

par Maxime » sam. 21 avr. 2018 16:24

Identité remarquable (la "troisième)

Je tombe sur xn²3yn² mais comment prouver égal à un ?

Re: Arithmétique

par SoS-Math(33) » sam. 21 avr. 2018 16:21

Par rapport à la question le plus simple c'est ce qui est expliqué juste avant.

Re: Arithmétique

par Maxime » sam. 21 avr. 2018 16:17

J'ai pensé à calculer x2n+13y2n+1 et espère tomber sur x2n3y2n ce qui prouverait la suite (x2n+13y2n+1) est constante et que tous ses termes valent x0²3y0².

Re: Arithmétique

par SoS-Math(33) » sam. 21 avr. 2018 16:15

Pour cette égalité x2n3y2n=1 je te conseille de calculer an×bn le résultat est rapide.
Ensuite tu devras utiliser le résultat pour démontrer la seconde égalité xnyn+1xn+1yn=1
Je te laisse faire les calculs.

Re: Arithmétique

par Maxime » sam. 21 avr. 2018 16:09

3) Montrer que x2n3y2n=1 et que xnyn+1xn+1yn=1.
Démonstration par récurrence ? Grâce aux deux questions précédentes ?

Avec quelle méthode gagne-t-on au change ?

Re: Arithmétique

par SoS-Math(33) » sam. 21 avr. 2018 16:01

Oui c'est ça

Haut