par SoS-Math(30) » ven. 10 févr. 2017 23:12
Bonsoir Julie,
Si je comprends bien ton problème : tu veux savoir pourquoi si deux de trois vecteurs sont colinéaires alors les trois sont coplanaires ?
Si l'on considère trois vecteurs de l'espace \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\).
1er cas : Si les trois vecteurs sont colinéaires, on n'est pas dans le cas d'application du théorème mais la situation est triviale : les trois vecteurs étant colinéaires, ils dirigent une même droite et sont donc coplanaires (une droite étant contenue dans une infinité de plans).
2ème cas : Si deux seulement des vecteurs sont colinéaires, par exemple \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\), alors \(\overrightarrow{v}\) ne peut pas être colinéaire à \(\overrightarrow{u}\) (sinon les trois vecteurs sont colinéaires et on est dans le cas précédent). Ainsi \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) ne sont pas colinéaires ce qui rend l'application du théorème possible.
Or on a supposé que \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) étaient colinéaires, il existe donc un réel \(\lambda\) tel que \(\overrightarrow{w}=\lambda \overrightarrow{v}\), égalité que l'on peut écrire : \(\overrightarrow{w}=0\overrightarrow{u} + \lambda \overrightarrow{v}\).
On a ainsi \(\overrightarrow{w}=x \overrightarrow{u} + y \overrightarrow{v}\) avec \(x=0\) et \(y=\lambda\).
D'après le théorème, les trois vecteurs sont donc coplanaires.
J'espère avoir pu t'aider.
SoSMath
Bonsoir Julie,
Si je comprends bien ton problème : tu veux savoir pourquoi si deux de trois vecteurs sont colinéaires alors les trois sont coplanaires ?
Si l'on considère trois vecteurs de l'espace [tex]\overrightarrow{u}[/tex], [tex]\overrightarrow{v}[/tex] et [tex]\overrightarrow{w}[/tex].
1er cas : Si les trois vecteurs sont colinéaires, on n'est pas dans le cas d'application du théorème mais la situation est triviale : les trois vecteurs étant colinéaires, ils dirigent une même droite et sont donc coplanaires (une droite étant contenue dans une infinité de plans).
2ème cas : Si deux seulement des vecteurs sont colinéaires, par exemple [tex]\overrightarrow{v}[/tex] et [tex]\overrightarrow{w}[/tex], alors [tex]\overrightarrow{v}[/tex] ne peut pas être colinéaire à [tex]\overrightarrow{u}[/tex] (sinon les trois vecteurs sont colinéaires et on est dans le cas précédent). Ainsi [tex]\overrightarrow{u}[/tex] et [tex]\overrightarrow{v}[/tex] ne sont pas colinéaires ce qui rend l'application du théorème possible.
Or on a supposé que [tex]\overrightarrow{v}[/tex] et [tex]\overrightarrow{w}[/tex] étaient colinéaires, il existe donc un réel [tex]\lambda[/tex] tel que [tex]\overrightarrow{w}=\lambda \overrightarrow{v}[/tex], égalité que l'on peut écrire : [tex]\overrightarrow{w}=0\overrightarrow{u} + \lambda \overrightarrow{v}[/tex].
On a ainsi [tex]\overrightarrow{w}=x \overrightarrow{u} + y \overrightarrow{v}[/tex] avec [tex]x=0[/tex] et [tex]y=\lambda[/tex].
D'après le théorème, les trois vecteurs sont donc coplanaires.
J'espère avoir pu t'aider.
SoSMath
