Bonjour,
il n'y a qu'un seul entier premier pair, c'est ...
En effet si on prend un autre entier pair, il est divisible par 2, donc il n'est pas premier, car il a un autre diviseur en plus de 1 et lui même.
Donc tous les autres nombres premiers sont impairs.
Ainsi, deux entiers premiers seront de parité différentes dans le seul cas où l'un des deux est égal à ....
Il faut s'appuyer dessus ces réflexions pour démontrer la deuxième question.
Bonne continuation

OK. Merci pour cette réponse.

Et pour la suite ?

J'en ai vraiment besoin pour demain...

Merci beaucoup pour votre aide.

J'ai aussi fait un autre exercice pour me préparer à mon contrôle de demain. Pouvez-vous le corriger s'il vous plait ?

Le voici :

1. On définit la fonction f sur [0;1[ par f(x)=racine carrée de (x^3/(1-x)).

a. On admet que f est dérivable sur ]0;1[. Calculer f' sur ]0;1[ et démontrer que
f'(x)=(x²(3-2x))/(2(1-x)²*racine carrée de (x^3/(1-x)).

b. Etudier les limites de f aux bornes de [0;1[

c. Etudier le signe de f' puis dresser le tableau de variations de la fonction f (avec les limites et l'indication f'(0)=0 (cf question suivante)).

d. En utilisant la définition du taux d'accroissement, démontrer que f'(0)=0.

Mes réponses :

a. f'(x)=(3x²(1-x)-(-1)(x^3))/(1-x)² * 2 racine carrée de (x^3/(1-x)).
f'(x)=(3x²-2x^3)/(1-x)² * 2 racine carrée de (x^3/(1-x)).
f'(x)=(x²(-2x+3))/(2(1-x)² * racine carrée de (x^3/(1-x))).

b. Limite en 0 :
lim x^3=0 et lim 1-x = 1
x=>0 x=>0
Donc :
lim (x^3/(1-x)) = 0.
x=>0
On a aussi lim racine carrée de X = 0.
X=>0
Donc d'après le théorème de composition : lim racine carrée de (x^3/(1-x))=0.
x=>0

Limite en 1 :
lim x^3=1 et lim 1-x = 0
x=>1 x=>1
Donc :
lim (x^3/(1-x)) = + infini.
x=>1
On a aussi lim racine carrée de X = +infini.
X=>+infini
Donc d'après le théorème de composition : lim racine carrée de (x^3/(1-x))=+infini.
x=>1

NB : Fallait-il plutôt déterminer les limites à gauche et les limites à droite ? Ou est-ce correct ?

c. f'(x) est seulement du signe de 3-2x car x² , 2(1-x)² et une racine sont des nombres positifs.
3-2x=0 équivaut à x=3/2, mais 3/2 n'appartient pas à l'intervalle [0;1[.

On a donc le tableau de signes et le tableau de variation suivants :

x | 0 1
_______________________________________________
f'(x) | f'(0)=0 + ||
_______________________________________________
Variations | + infini
de f | 0 flèche vers le haut =>

NB : Ai-je placé au bon endroit f'(0)=0 ? Je ne sais pas où le mettre dans le tableau...

d. Je ne sais pas comment faire... Pouvez-vous m'aider ?

Merci beaucoup d'avance pour votre aide.

Bonne soirée.

Il faut regarder si 2 puis 3 puis 7 puis 1 puis 13 ...ne sont pas des diviseurs de 71 jusqu'à racine(71). si l'un deux est un diviseur 71 n'est donc pas premier sinon on fait le test jusqu'à racine(71) et si on ne trouve pas de diviseur alors 71 sera premier.
Pourquoi racine (71)?
Exemple Les diviseurs de 30 sont 1;2; 3; 5; 6; 10;15;30. Il y a une symétrie le 1 va avec 30; 2 avec 15 ... Il suffit de trouver la première moitié.

Bonsoir,

Merci pour votre réponse.

Je ne comprends pas ce qu'il faut faire quand vous dites :

Il faut tester si les nombres premiers p inférieurs à racine(71) ne sont pas diviseur de 71.

Je ne comprends pas non plus cette phrase :

Remarque si p est différent de 2 et p premier, peut-il être pair ?

Que représente p ?

Bonne soirée.

Bonjour,
Il est préférable de mettre son prénom.
Ta définition de nombre premier est bonne. On te demande l'ensemble donc il faut peut-être mieux formuler la réponse : l'ensemble des nombres qui admettent exactement 2 diviseurs distincts : 1 et eux-mêmes.
Il faut tester si les nombres premiers p inférieurs à racine(71) ne sont pas diviseur de 71.
Exercice 2 : Remarque si p est différent de 2 et p premier, peut-il être pair ?

Bonjour,

J'ai deux exercices à faire sur les nombres premiers. J'ai quelques problèmes avec... Voici ce que j'ai fait :

Exercice 1 :

1. Donner la définition d'un élément de P, P étant l'ensemble des entiers naturels premiers.
Un nombre premier est un nombre qui admet exactement 2 diviseurs distincts : 1 et lui-même. C'est correct comme définition ? Cela suffit ?

2. Montrer que 71 est un nombre premier avec un test d'arrêt et sans calculatrice...
Je ne vois pas comment faire...

Exercice 2 :

1. Deux entiers premiers peuvent-ils être de parités différentes ? Justifier.
Même en nommant un nombre pair 2k et un nombre impair 2k+1, je ne sais pas comment répondre...

2. Pour tout entier naturel n différent de 0, démontrer que 30n+7 ne peut pas être la somme de deux nombres entiers naturels premiers.
Je suis sûr qu'il faut faire un raisonnement par l'absurde car c'est ce que nous apprenons en ce moment, mais je ne vois pas comment le faire...

Merci d'avance pour votre réponse.

Bonne après-midi.