par Sophia » lun. 24 oct. 2016 09:12
Bonjour. Nous professeur prend un peu d'avance sur le programme et nous a donné un devoir-maison sur les similitudes (que nous avons quand même étudiées en classe).
Voici l'énoncé :
On souhaite démontrer le théorème suivant : soit f:C-->C, f est une similitude ssi il existe lambda réel strictement positif tel que pour tout couple (z;w) de complexes module de f(z)-f(w) = lambda module(z-w)
1. Soit f une similitude. Montrer qu'il existe lambda>0 tel que pour tout couple (z;w) de complexes module de f(z)-f(w) = lambda(z-w).
(Je l'ai faite, c'est facilé simplement avec la définition de la similitude, je n'ai pas besoin d'aide pour ça).
C'est ensuite que les choses deviennent plus compliquées.
On veut montre l'implication réciproque (c'est-à-dire montre que f est une similitude).
2. Montrer qu'il existe deux complexes a et b tels que la fonction pour tout complexe z g(z) = af(z)+b vérifie g(0)=0 et pour tout couple de complexes (z;w) module de g(z)-g(w)= module(z-w).
Le problème, c'est que je ne sais pas comment introduire a et b. Je reste bloquée à g(0)=0 équivaut à af(0)+b=0 mais ça ne marche pas car j'ai déjà supposé l'existence de a et b...
3. Montrer qu'il existe téta, réel tel que la fonction pour tout z complexe h(z)=e^itéta g(z) vérifie h(1)=1.
Même problème que précédemment.
4. Montrer que h(i) = i ou h(i) = -i.
J'essaie en calculant h(i) = e^itéta g(i) = e^itéta(af(i) + b) mais pareil, je n'avance plus.
5. On suppose que h(i) = i, montrer que pour tout z de module 1, h(z) = z puis lorsque h(i)=-i, h(z)=z(barre)
La démonstration me paraît évidente, mais je ne sais pas comment bien la formuler.
6. Montre que pour tout z de module 1 et tout lambda positif, h(lambda*z)=lambda*h(z).
Bon, j'ai essayé de donner les pistes de réflexion mais j'ai un peu de mal.
Merci par avance pour vos réponses.
Bonjour. Nous professeur prend un peu d'avance sur le programme et nous a donné un devoir-maison sur les similitudes (que nous avons quand même étudiées en classe).
Voici l'énoncé :
On souhaite démontrer le théorème suivant : soit f:C-->C, f est une similitude ssi il existe lambda réel strictement positif tel que pour tout couple (z;w) de complexes module de f(z)-f(w) = lambda module(z-w)
1. Soit f une similitude. Montrer qu'il existe lambda>0 tel que pour tout couple (z;w) de complexes module de f(z)-f(w) = lambda(z-w).
(Je l'ai faite, c'est facilé simplement avec la définition de la similitude, je n'ai pas besoin d'aide pour ça).
C'est ensuite que les choses deviennent plus compliquées.
On veut montre l'implication réciproque (c'est-à-dire montre que f est une similitude).
2. Montrer qu'il existe deux complexes a et b tels que la fonction pour tout complexe z g(z) = af(z)+b vérifie g(0)=0 et pour tout couple de complexes (z;w) module de g(z)-g(w)= module(z-w).
Le problème, c'est que je ne sais pas comment introduire a et b. Je reste bloquée à g(0)=0 équivaut à af(0)+b=0 mais ça ne marche pas car j'ai déjà supposé l'existence de a et b...
3. Montrer qu'il existe téta, réel tel que la fonction pour tout z complexe h(z)=e^itéta g(z) vérifie h(1)=1.
Même problème que précédemment.
4. Montrer que h(i) = i ou h(i) = -i.
J'essaie en calculant h(i) = e^itéta g(i) = e^itéta(af(i) + b) mais pareil, je n'avance plus.
5. On suppose que h(i) = i, montrer que pour tout z de module 1, h(z) = z puis lorsque h(i)=-i, h(z)=z(barre)
La démonstration me paraît évidente, mais je ne sais pas comment bien la formuler.
6. Montre que pour tout z de module 1 et tout lambda positif, h(lambda*z)=lambda*h(z).
Bon, j'ai essayé de donner les pistes de réflexion mais j'ai un peu de mal.
Merci par avance pour vos réponses.
