Bonjour,
tu as trouvé que [tex]f'(0)=1=f(0)[/tex] d'après la propriété P'. Donc [tex]h(0)=f(0)\times f(0)=1[/tex] cela prouve bien que [tex]f\neq 0[/tex].
Donc ta fonction [tex]h[/tex] est constante égale à ...
Bonne continuation.

D'accord merci j'ai compris, h(x) est égale à une constante et comme H(x) = f(x) * f(-x) alors f(x) # 0

Bonjour,
si [tex]f'(x)=0[/tex] pour tout réel [tex]x[/tex] d'un intervalle [tex]I[/tex], cela veut dire que ta fonction [tex]f[/tex] est constante : il existe un [b]nombre réel[/b] tel que pour tout réel [tex]x\in\,I[/tex] [tex]f(x)=k[/tex].
Le nombre [tex]k[/tex] n'est pas forcément un nombre entier....

Si la dérivée d'une fonction est nulle pour tout réel ça veut dire que cette fonction est composée de nombres entiers non ? Donc qu'elle est différente de 0

Oui pour la formule.
Pour montrer que f ne s'annule pas, tu dois utiliser ce que tu as démontré juste avant, c'est-à-dire que h' = 0. Qu'est-ce que cela signifie si la dérivée d'une fonction est nulle sur tous les réels ?

SoSMath

Ah oui je me suis trompée ! Je dois donc utiliser la formule (u'v-v'u)/v^2 c'est ça?
Et j'aurai une autre question, comment prouver que f(x)#0 ? Je pense qu'il faut utiliser la propriété (P') avec f'(0) = 1 mais comment le prouver pour tout x ?

Je ne sais pas si c'est une erreur de frappe avec * entre u'v et uv' mais ce n'est pas ça. La fonction est écrite sous la forme d'un quotient de fonctions [tex]\frac{u}{v}[/tex].
C'est donc la formule de la dérivée d'un quotient de fonctions que tu dois retrouver.

SoSMath

Juste une dernière question ^^
Pour la question 2)b) pour montrer que k'(x)=0 on doit utiliser u'v*uv' ?

De rien, bon courage

SoSMath

Ah d'accord j'ai compris!
Merci de votre aide je vais essayer de faire la suite seule maintenant !

Non là il n'y a plus de variable x. On ne dérive plus. On regarde juste l'égalité [tex]f'(x+y)=f'(x)\times f(y)[/tex] qui est vraie pour tout réel x, en particulier pour x = 0...

SoSMath

Merci beaucoup j'ai compris !!
Et donc pour montrer que f'(y)=f'(0)*f(y) , j'utilise f(y)=k non ? Mais apres si on dérive k on obtient 0 non ?

C'est cela oui.

Je ne suis pas sure de connaître la dérivée, est ce que c'est k*u'(x) ?

Bien, pour la deuxième question, on te dit d'utiliser l'égalité [tex]f(x+y)=f(x)\times f(y)[/tex] où y est considéré comme constante. C'est donc comme si [tex]f(y)=k[/tex] où k est une constante qui ne varie pas avec la variable [i]x[/i]. L'expression de [i]f(x+y)[/i] est donc de la forme [tex]k \times u(x)[/tex] dont tu connais sûrement la dérivée ?

SoSMath