Bonsoir Théo,

Reprends le fil de la discussion...
Si 8 divise [tex]a^2-1[/tex], comme [tex]a^2-1=(a+1)(a-1)[/tex], alors 8 divise [tex](a+1)(a-1)[/tex] donc ...

Je te laisse terminer.
Inversement,
Si [tex]a[/tex] est de la forme [tex]8p-1[/tex] ou [tex]8p+1[/tex], avec[tex]p\in\mathbb{N}[/tex]
alors [tex]a^2-1=(8p-1)^2-1[/tex] et tu démontres que ce nombre est divisible par 8 puis tu fais de même pour la forme [tex]8p+1[/tex].

Bonne continuation.

Bonsoir, mais le problème c'est que je n'arrive pas à démontrer les deux conditions.

Bonsoir Théo,

C'est effectivement ce qui est à faire mais il ne suffit pas de l'écrire, il faut démontrer les deux conditions de façon rigoureuse.

Bonne continuation.

Si [tex]a^{2}-1[/tex] est divisible par 8, alors a est de la forme (8p-1) ou (8p+1).
Réciproquement, si a est de la forme (8p-1) ou (8p+1), alors [tex]a^{2}-1[/tex] est divisible par 8.

Non,
il faut juste raisonner par condition nécessaire et condition suffisante :
si [tex]a^2-1[/tex] est divisible par 8, alors [tex]a[/tex] est de la forme ....
Réciproquement, si [tex]a[/tex] est de la forme ...., alors [tex]a^2-1[/tex] est divisible par 8.
Il s'agit seulement de structurer ton raisonnement.
Je te laisse rédiger

Il faudrait peut-être faire un raisonnement par récurrence ?

En gros, c'est cela.
Cela te donne la forme des nombres [tex]a[/tex] : il seront de la forme [tex]8p-1[/tex] ou [tex]8p+1[/tex], avec [tex]p\in\mathbb{N}[/tex]
Il restera ensuite à vérifier que ces nombres là vérifient bien que [tex]a^2-1[/tex] est divisible par 8
Par exemple, si on prend p=7, alors on a [tex]a=7\times 8-1=55[/tex] et [tex]a'=7\times 8+1=57[/tex]
[tex]a^2-1=55^2-1=30248\times 378[/tex] et [tex]a'^2-1=57^2-1=3248=8\times 406[/tex].
Cela a l'air de fonctionner mais il faut le démontrer de manière formelle.
Bonne conclusion

Soit 8 divise (a+1), soit 8 divise (a-1).
Dans le premier cas, a est égal à -1 et on peut ajouter -8 ou 8 jusqu'à l'infin.
Dans le second cas, a est égal à 1 et on peut ajouter -8 ou 8 jusqu'à l'infin.

Non,
ce n'est pas vraiment cela, il faut encore réfléchir ; cela doit te donner deux cas disjoints :
soit 8 divise ...
soit 8 divise ...
Reprends cela

D'accord, merci pour votre réponse, on en déduit donc que les valeurs que peut prendre a sont tous les nombres impairs, c'est bien ça ?

Bonjour,
les nombres divisibles par 8 sont des multiples de 8, donc ils sont distants de 8 unités les uns des autres.
Comme [tex]a^2-1=(a+1)(a-1)[/tex], cela signifie que le nombre à diviser est constitué de deux facteurs distants de deux unités : qu'en déduit-on ?
Bon courage.

Bonjour, dans un exercice, on me demande de trouver les entiers relatifs a tels que [tex]a^{2}-1[/tex] soit divisible par 8, mais je ne vois pas comment faire ni par où commencer.
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Merci d'avance