Oui merci beaucoup pour votre aidez vous etes fantastiques!!!

Bonjour,
par définition, si un nombre entier positif d' est un diviseur d'un autre entier positif, alors \(d'\leq d\) : \(d=k\times d'\) donc \(d-d'=kd'-d'=d'(k-1)\), avec \(k\geq 1\), donc \(d\geq d'\).
Est-ce plus clair ?

merci beaucoup!! mais dans ce cas si d' divise d comment cela se fait-il que d' soit plus petit que d?

Bonjour,
si d' est un diviseur commun de a et b, alors il divise
si \(d'|a\), alors \(d'|ax_0\)
si \(d'|b\), alors \(d'|by_0\)
donc au final \(d'|????-????\) donc \(d'|....\)
Je te laisse conclure.
Bon courage

merci beaucoup!!

dans ce cas pour repondre a la question 6(Demontrer que si d' est un diviseur commun positif de a et b alors d' divise d et par suite d' est inferieur ou egal a d (indication:d=ax0-by0) )
j'ai donc d=ax0-by0 et d'=ax-by
on a donc d=a*k=b*k' on doir montrer que d' est du meme type mais comment faire svp?

Bonsoir,
pour montrer que \(a\) et \(b\) appartiennent à E, c'est très simple :
Pour \(a\) : \(a=a\times 1-b\times 0\), donc \(a\) est bien de la forme \(ax-by\), avec \(x\,,\, y\in \mathbb{Z}\) donc \(a\in E\)
Fais la même chose avec \(b\).
Bonne continuation

Ah je comprend! merci!! je demontre que n appartient à E, et si un element quelconque multiple de d appartient a cet ensemble, c'est que E est l'ensemble des multiples de d!
Et pour demontrer la question suivante, que a et b appartiennent a E, il suffit de montrer qu'ils sont des multiples de d. Mais comment faire? je suis partie de l'expression de E de depart avec ax-by, mais mon developpement je montre que E = q*d, je ne comprend pas ce qui ne vas pas... ai-je bien la bonne methode?

Bonjour,
Tu as montré que les éléments de E sont multiples de \(d\).
Il te reste à montrer la réciproque, c'est-à-dire que tous les multiples de \(d\) sont dans E.
Pars donc d'un élément \(n=kd\), avec \(k\) entiers relatifs et montre que \(n\in E\).
Bon courage

Ah ça y est!! j'ai compris!! j'arrive au final a demontrer que r appartient a E, et que N est un multiple de d.
dans ce cas (question 4.) tous les elements de E sont des multiples de d, mais comment montrer justement que E est l'ensemble des multiples de d?

Bonjour,
il faut partir de ce qu'a dit mon collègue.
Si N est un élément de E, alors il peut s'écrire comme \(N=ax-by\), avec \(x\) et \(y\) entiers relatifs.
De même d est un élement de E : \(d=ax_0-by_0\)
et on a \(r=N-qd=ax-by-q(ax_0-by_0)=a(....)-b(....)\) : développe et factorise par a et b ce qui peut l'être ; cette écriture permettra de prouver que \(r\) est un élément de E.
Reprends cela

merci pour votre aide, j'ai essayer de faire la suite seule mais j'ai eu beaucoup de mal pourriez vous me corriger là ou il y a des erreurs svp?

3. r est donc un element de E. Supposons que N appartienne a E+, N est donc un entier strictement positif.
N= qd+r= q(ax0-by0)+r
=qax0-qby0+r*1
mais je ne vois pas comment on vois qu'il n'est pas strictement positif...

4. N est un element quelconque de E, et est multiple de d. Si N appartient a E et N=q*d alors tous les elements de E sont des multiples de d.
E est donc l'ensemble des multiples de d.

5. E=ax-by et d=ax0-by0
donc E=a(x0*z)-b(y0*z)
E=ax0*z-by0*z
E=z(ax0-by0)=z*d=q*d on a bien a et b qui sont des multiples de d donc a et b appartiennent a E

a et b sont tous deux multiples de de d d est donc un diviseur commun a a et b.

6. je suis vraiment bloquée sur cette question, j'ai esprimé E en fonction de d puis de a et b j'ai rajouté des inconnues... mais je n'y arrive pas.

7. Si on a d' inferieur ou egal a d et d' divise d, avec d un diviseur commun a a et b, alors d est le plus grand diviseur commun de a et de b. PGCD(a,b)=d

je pense que j'ai fais beaucoup d'erreur... pouvez-vous m'aider?

En fait il suffit de transposer : r= N - q x d = 1 x N + (-q) x d ; donc r s'écrit bien comme un élément de E !

Je vous laisse continuer ensuite, il faut toujours utiliser les propriétés de la division euclidienne, en particulier, sur la comparaison de r et d.
Supposez que N appartient à E+, et vous arriverez à une contradiction.

Je pense que le reste de l'exercice est accessible ensuite.
A bientôt

Ah comme on a cette egalitée, N=qd+r, N etant un element de E et r un element de N alors r est un element de E?

L'entier N peut-il appartenir a E+? En deduire que r=0 et que N est multiple de d

oui l'entier peut appartenir a E+ (je ne sais pas comment le justifier)

N est un multiple de d et il est element de E donc r=0 donc N=qd , N est bien multiple de d
c'est cela?

Pourquoi r appartiendra à E ? (la réponseest simple en regardant l'égalité que vous venez d'écrire...

E+ c'est l'ensemble des entiers de E strictements positifs

la division euclidienne de N par d est du type N=qd+r
si N est un element de E et r le reste alors r est aussi un element de E...
je ne suis pas sure que ce soit ça