par SoS-Math(9) » sam. 27 déc. 2014 10:48
Bonjour Guillaume,
Je pense que tu as oublié le facteur (a-b) dans ta formule .... \(a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k\).
La démonstration par récurrence n'est pas la plus simple ... voici le début de l'hérédité :
Montrons que \((a-b)\sum_{k=0}^{n}a^{n-k}b^k=a^{n+1}-b^{n+1}\).
On a : \((a-b)\sum_{k=0}^{n}a^{n-k}b^k=(a-b)(\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k}b^k + a^0b^n)=(a-b)(a\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k-1}b^k + b^n)=a(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k-1}b^k+(a-b)b^n\).
Or par hypothèse de récurrence, on a : \(a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k\).
.... je te laisse terminer.
SoSMath.
Bonjour Guillaume,
Je pense que tu as oublié le facteur (a-b) dans ta formule .... [tex]a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k[/tex].
La démonstration par récurrence n'est pas la plus simple ... voici le début de l'hérédité :
Montrons que [tex](a-b)\sum_{k=0}^{n}a^{n-k}b^k=a^{n+1}-b^{n+1}[/tex].
On a : [tex](a-b)\sum_{k=0}^{n}a^{n-k}b^k=(a-b)(\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k}b^k + a^0b^n)=(a-b)(a\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k-1}b^k + b^n)=a(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k-1}b^k+(a-b)b^n[/tex].
Or par hypothèse de récurrence, on a : [tex]a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k[/tex].
.... je te laisse terminer.
SoSMath.
