Bonjour,
Est-il précisé que la récurrence porte sur deux rangs ? Ou alors, il y a deux propriétés à montrer en même temps.
Si tu montrais le propriétés suivantes :
\(P_n\) : pour tout entier n, il existe un entier \(a_n\), tel que \((1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^n=a_n\)
\(P'_n\) : pour tout entier n, il existe un entier \(b_n\), tel que \((1+\sqrt{2})^n-(1-\sqrt{2})^n=b_n\sqrt{2}\)
Essaie de montrer ces deux propriétés par récurrence, en même temps, ce serait aussi une récurrence double (sur les propriétés).
Bon courage

Bonjour je dois montrer par récurrence double cette propriété:
montrer que pour tout n appartient à N, (1+2√)n+(1−2√)n∈ℕ
Je n'arrive pas a l'hérédité... qqn pourrait-il m'aider svp ?
Merci d'avance
Margot

Bonsoir, j'ai un DM à rendre. L'objectif de ce DM est de présenter 3 types de raisonnement par récurrence.

Le 1er est une démonstration avec une récurrence simple ( j'ai réussi) (tex)

Le 2ème est une démonstration avec 1 récurrence double: Montrer que pour tout n ∈N, (1+ 〖√2〗^n )+ (1- 〖√2〗^n )∈N
Initialisation: j'ai montré que Po est vraie; P1 est vraie.
Pour l'hérédité j'ai plus de mal... J'ai trouvé:
on suppose que la propriété est vraie à un rang n et à un rang n+1, n sup ou égal à O
soit: ((1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^n \in \mathbb{N} et (1+\sqrt{2})^(n+1)+(1-\sqrt{2})^(n+1) \in \mathbb{N} ?

donc (1+\sqrt{2})^(n+2)+(1-\sqrt{2})^(n+2)= ((1+\sqrt{2})( (1+\sqrt{2})^(n+)1)+ (1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})^(n+1) par hyp de vécu

puis je dire directement que (1+\sqrt{2})^(n+2)+(1-\sqrt{2})^(n+2)= ((1+\sqrt{2})( (1+\sqrt{2})^(n+)1)+ (1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})^(n+1) \in \mathbb{N} ou alors comment puis je l'affirmer ?
Merci
Margot