Math DM

par **SoS-Math(25)** » dim. 2 nov. 2014 16:42

Bonjour Arielle,

Tu as dit que la suite (pn) tend vers le périmètre du cercle et c'est exact. Quelle est cette valeur ? Que vaut-elle en décimale ?

Tu as presque fini, courage !

A bientôt !

par **Arielle** » sam. 1 nov. 2014 21:05

Je n'ai pas très bien compris :/ Peux tu me réexpliquer s'il te plaît ?

par **SoS-Math(25)** » sam. 1 nov. 2014 15:29

Vers quoi tend la suite (pn) ? (Environ 6,28...)

Arielle a écrit : C'est la valeur du périmètre du cercle, puisque pn donne les périmètres

Quelle est en décimale cette valeur ?

Arielle a écrit : Donc du coup, 2pi, et après pn à diviser par 2 pour avoir pi :/ ?

C'est cela.

Bon travail !

par **Arielle** » sam. 1 nov. 2014 15:13

D'accord super :)
Je ne sais pas trop... C'est la valeur du périmètre du cercle, puisque pn donne les périmètres... ? Donc du coup, 2pi, et après pn à diviser par 2 pour avoir pi :/ ?

par **SoS-Math(25)** » sam. 1 nov. 2014 14:41

C'est très bien !

Attention :

Arielle a écrit : on a 0 < f(an) < 2 donc 0 < an < 2 ?

Je dirai plutôt l'inverse, 0 < an < 2 donc 0 < f(an) < 2 or, f(an) = an+1 donc ....

Arielle a écrit : la suite pn donne le périmètre des polygones inscrits dans le cercle en fonction de leur nombre de côté.

La circonférence : C = 2pi. On en déduit que lorsque n tend vers l'infini, le polygone est presqu'un cercle donc le périmètre s'approche aussi de 2pi.

C'est exactement ça !

Tu avais trouvé que la suite (pn) tendait vers environ 6,28... Quelle est selon toi cette valeur avec ce que tu viens de découvrir ?

(Tu comprendras alors la question 3)...)

Très bon travail et à bientôt !

par **Arielle** » sam. 1 nov. 2014 14:09

Si je comprends bien, je peux aussi dire que puisque 0 < x < 4 et 0 < f(x) < 2, on a 0 < f(an) < 2 donc 0 < an < 2 ?
Oui c'est plus grand que 6,28, j'ai arrondi, ça se rapproche de 2pi.
Du coup pour la partie D, le lien qui existe entre pn et le périmètre, c'est que la suite pn donne le périmètre des polygones inscrits dans le cercle en fonction de leur nombre de côté. J'ai comparé les valeurs des périmètres de la partie A aux valeurs pn, et ça correspond.
La circonférence : C = 2pi. On en déduit que lorsque n tend vers l'infini, le polygone est presqu'un cercle donc le périmètre s'approche aussi de 2pi.
Pour la 3ème question, je ne la comprends pas trop. Il s'agit d'écrire une formule permettant de calculer une valeur approchée de pi en utilisant seulement le chiffre 2 et après des "lettres" ?

par **SoS-Math(25)** » sam. 1 nov. 2014 12:51

Bonjour Arielle,

C'est cela pour la positivité mais tu n'avais pas forcément besoin de tout recommencer....

Si \(0\leq x \leq 4\) alors \(0\leq f(x) \leq 2\)

En utilisant ce résultat, tu arrives directement à ce que tu souhaites démontrer non ?

La limite semble être un peu plus grande que 6,28 non ?

A bientôt !

par **Arielle** » sam. 1 nov. 2014 12:20

C'est bon, j'ai réussi la récurrence concernant la décroissance stricte.

Pour la suite strictement positive :
On a an+1 = f(an)
On sait aussi que la fonction f est bornée par 0 et 2. Donc on peut penser que 0 < an inférieur ou égal 2
Supposons que la propriété est vraie à un certain rang p, tel que 0 < ap inférieur ou égal 2.
Si 0 < ap inférieur ou égal 2, alors a t-on 0 < ap+1 inférieur ou égal 2 ?

0 > -ap > -2
4 > 4 - ap > 2
2 > V(4-ap) > V2
- 2 < - V(4-ap) < -V2
0 < 2 - V(4-ap) < 2 - V2

0 < ap+1 < 2-V2 < 2

Donc la propriété est héréditaire.
En conclusion, pour tout n E N, on a bien an strictement positive.

Pour la conjecture, la suite semble converger vers 6,28

par **SoS-Math(25)** » ven. 31 oct. 2014 23:02

Les calculs des premiers termes de chaque suite me semblent corrects.

Pour la 4c) il s'agit effectivement d'une récurrence rapide :

\(a_0 > a_1\)... je te laisse faire
Hypothèse : \(a_n > a_{n+1}\)

Il faut montrer grâce à cette hypothèse que \(a_{n+1}>a_{n+2}\).

Un indice .... \(f(a_n) = a_{n+1}\).

Pour la 5c), je n'ai pas l'impression, d'après tes résultats que la limite est 0 puisque les valeurs augmentent légèrement...

Bon travail,

A bientôt !

par **Arielle** » ven. 31 oct. 2014 21:36

D'accord super merci ! :)
Oui, je vois ce que tu veux dire :

2) Donc, je dois prouver que la fonction ne descend jamais en dessous de 0 et ne dépasse jamais 2.
Est ce que si je fais un tableau de variations sur [0;4] ça peut répondre à la question ? La fonction est strictement croissante, f(0) = 0 et f(4) =2, ça prouverait que la fonction est bien bornée sur cet intervalle ? ^^

3) Puisque la fonction est bornée par 0 et 2, on peut donc en déduire qu'elle est positive sur l'intervalle [0;4].

4)a) et 4)b) J'ai pris une photo de ce que j'ai écris, ce sera plus facile que de tout réécrire :J

4c) Je suis vraiment nulle.. J'ai essayé plein de choses, récurrence, dérivée, etc.. Mais ça n'aboutit à rien.. Une petite piste s'il te plaît.
an+1 < an mais il n'y a pas de an :/

5)a) et 5)b) par photo.

Pour la 5)c) on obtient une forme indéterminée si je ne me trompe pas. Il n'y a rien à justifier si c'est une conjecture ? J'aurais dit que la limite semble être 0. Est ce juste ?

Merci pour ta patience :J

par **SoS-Math(25)** » ven. 31 oct. 2014 19:17

Pour la partie B tout me semble correct si ce n'est quelques coquilles de rédaction :

Arielle a écrit : AB1² = 2 - V(4-AB0)²
= V(2-V(2))

Le carré dans la première ligne est mal placé : \(~AB_{1}^2 = 2 -\sqrt{(4 - AB_{0}^2)}\).

Ensuite, la deuxième est la valeur de \(~AB_1\) et non pas comme tu l'as écrit \(~AB_{1}^2\).

Je sais que ce n'est pas facile d'écrire des maths sur un forum. Tes calculs me semblent justes donc tu as compris.

Pour la partie C,

Bon travail pour le 1)

Pour le 2) la fonction est strictement croissante. Donc sa valeur minimale est située à gauche de l'intervalle (en x=0) et son maximum est de l'autre côté...
(Bornée cela veut dire quelle a un minimum et un maximum.)

Pour le 3) en effet tu peux déduire le signe de f grâce à la question 2)

J'espère avoir était assez clair,

Bon courage !

par **Arielle** » ven. 31 oct. 2014 18:37

J'ai continué et voici ce que je trouve :
3) le périmètre du carré est donc de 4V(2) (V = Racine.. Je suis désolée, je n'arrive pas à faire les racines avec mon ordi :/)
5) Après construction de l'octogone,
AB1² = 2 - V(4-AB0)²
= V(2-V(2))
D'où le périmètre de l'octogone qui est égal à 8 x AB1

7) La même chose ici encore, je trouve AB2 = V(2-V(2+V(2)))
Et le périmètre est 16 x AB2

J'espère avoir bon... Je me demandais aussi si j'avais réussi à simplifier au maximum mes résultats, où si c'est possible de faire mieux :/

Pour la partie C :

1) Supposons que a < b, a et b appartenant à [0;4]
-a > -b
4-a > 4-b
V(4-a) > V(4-b)
-V(4-a) < -V(4-b)
2-V(4-a) < 2-V(4-b)
f(a) < f(b) donc la fonction est strictement croissante sur l'intervalle.

2) La je ne comprends pas du tout ? Pourquoi 0 et 2 ? :(

3 ) J'aurais bien calculé la dérivée mais il faut déduire... je ne vois pas comment faire non plus ..

par **SoS-Math(25)** » ven. 31 oct. 2014 13:30

Cela me semble correct. C'est bien.

Utilise bien la partie A comme cela est demandé. (Tu peux ensuite rajouter ton raisonnement utilisant Pythagore si tu veux.)

Bon courage pour la suite

par **Arielle** » ven. 31 oct. 2014 13:19

Non, je viens de me rendre compte que j'ai fait une erreur.
Si cette fois c'est bon, on a 0A= DO= 1.
Donc en utilisant Pythagore dans le triangle AOD rectangle en O, on arrive à AD = Racine de 2.
Dans la partie A question 3), on dit que si AB est un diamètre alors AC = Racine de 2.
Comme tu l'as dit on est dans la même configuration que dans cette partie A où AB est un diamètre et le point D remplace le point C.
On a donc AD² = 2 - Racine de (2 - AB²)
= 2
d'où AD = Racine de 2 également.
J'espère déjà avoir compris ça :/

par **Arielle** » ven. 31 oct. 2014 12:30

Effectivement je me suis trompée...
Est ce Racine de 2 pour la question 3) de la partie A ?
Oui je vois :)
Le triangle A0D est rectangle en O, on a donc A0 = 6cm, OD = 6cm aussi du coup et après on utilise Pythagore pour trouver AD ? ^^

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