Bonsoir,
Je crois que tu as bien compris mes propos.
Bonne continuation.

merci pour toutes ces réponses,
en fait en gros pour résumer, l'existence des coefficients u et v est démontrée avec Théorème de Bezout, mais en passant à n+1, le problème est que l'on est obligé d'appliquer une autre condition sur ces u et v et donc là automatiquement si cette condition est appliquée alors le domaine de définition des u et v de départ n'est plus le même (on le restreint) et donc la en l'occurrence le PGCD égal à 1 n'est pas vérifié au rang n+1. On sait que pour certain rang n, PGCD est bien 1 mais le problème c'est que ce PGCD de 1 n'est pas vraie pour tout les rangs n.
Est ce bien cela ?
Et donc, pour que ma démonstration marche il aurait fallu qu'on retombe sur 1 au rang n+1 dans la partie de "droite" de l'équation.
Merci beaucoup.

Bonjour,
Peux-tu préciser ce que tu n'as pas compris dans mon dernier message : je sais que cela n'est pas évident à faire comprendre car la notion d'existence en mathématiques est subtile et pas toujours facile à concevoir.
Je disais en gros que l'existence au rang n de deux entiers u et v était assurée avec le théorème de Bezout mais que cela ne présageait en rien l'existence d'entiers au rang n+1, car il était difficile d'établir une égalité de bezout au rang n+1 à partir de celle établie au rang n.
Il arrive parfois qu'on ait à prouver ce genre de récurrence et, quand cela est possible, on obtient souvent l'existence des coefficients au rang n+1 comme expression des coefficients au rang n mais, dans le cas qui nous intéresse ici, comme on part de quelque chose qui est manifestement faux, on aura du mal à trouver les coefficients au rang n+1.
Peut-être que c'est plus clair ainsi.
Bonne continuation.

Bonsoir, excusez moi je n'ai pas bien compris ce que vous avez marquez en dernier, pourriez-vous reformuler ou préciser s'il vous plait ?
Merci d'avance.

Jean-Jacques

Bonsoir,
Le problème est dans la récurrence en elle-même : tu pars de l'existence de u et v tels que l'on ait l'égalité : cette existence est assurée par le théorème de Bezout, ok.
Le souci c'est que tu demandes ensuite à ces deux nombres entiers de vérifier en plus une autre condition ce qui n'est pas possible en général : u et v sont définis de manière définitive et il y a peu de chances qu'il vérifient la condition 2-2u+9v=1 (ou une autre, cela ne change rien).
D'autres u et v vérifient cette condition mais ils ne vérifieront pas la condition du départ et on n'a pas de moyen de trouver deux u et v qui marcheraient sur les deux conditions.
C'est tout le problème des questions d'existence : on sait que cela existe mais on ne sait rien d'autre et on ne peut donc pas manipuler ces nombres comme on veut.
Le seul moyen de s'en sortir serait alors, de montrer l'existence de u' et v' tels que ce soit vérifié au rang d'après, avec u' et v' exprimés en fonction de u et v : dans ce cas-là l'existence de u et v assurerait l'existence de u' et v'. Mais je doute que tu arrives à trouver u' et v', surtout si l'hypothèse est fausse....
Est-ce compris ?
Bonne continuation

oui, ben c'est ce que vous avez écrit en fait plus haut,
et donc ma démonstration doit forcément être incohérente quelque part puisque je suis arrivé à une fausse conclusion qui correspond à ma première conjecture mais qui est en réalité totalement fausse. Et donc je voudrais savoir où est cette incohérence, ou ce mauvais raisonnement.

.....
mais vu que 2^(k+1)+1 est un facteur de u, en développant cela me donne bien u*2^(k+1)+u , non ?
et ensuite je multiplie par 2 et ça me donne bien u*2^(k+2)+2u , comme ce que j'ai marqué, et ensuite j'ajoute dans chaque membre de l'équation -2u pour enlever "les u" dans la partie de gauche, je ne vois vraiment pas où est la faute, le +1 dans l'expression est devenu u en appliquant la distributivité
non ?

Bonjour,
Auguste part du théorème de Bezout :

u*(2^k+1)+1) + v*(2^(k+2)-3) = 1

en multipliant par 2 :

équivaut à
2[u*(2^(k+1)+1) + v*(2^(k+2)-3)] = 2

puis il développe : \(2u(2^{k+1}+1)+2v(2^{k+2}-3)=2\)
donc \(2u\times 2^{k+1}+2u+2v\times 2^{k+2}-2v\times 3=2\)
donc on a bien :

équivaut à
2.u*2^(k+1)+2u + 2.v*2^(k+2)-6v =2

Est-ce plus clair ?

je ne comprends pas aussi le passage suivant ,veuillez svp m'expliquez !!
u*(2^k+1)+1) + v*(2^(k+2)-3) = 1
équivaut à
2[u*(2^(k+1)+1) + v*(2^(k+2)-3)] = 2
équivaut à
2.u*2^(k+1)+2u + 2.v*2^(k+2)-6v =2

Ta première suite est définie par \(X_k=2^{k+1}+1\) donc il te manque un +1 dans ton expression...
Reprends cela

mais je comprends pas
u*(2^k+1)+1) + v*(2^(k+2)-3) = 1
équivaut à
2[u*(2^(k+1)+1) + v*(2^(k+2)-3)] = 2
équivaut à
2.u*2^(k+1)+2u + 2.v*2^(k+2)-6v =2
équivaut à
u.2^(k+3)+2u+v.2^(k+3)-6v = 2
équivaut à
u.2^(k+3) + 2u -2u +v.2^(k+3) -6v +9v = 2 -2u +9v
équivaut à
u.(2^(k+2))+v.(2^(k+3)+3)= 2-2u+9v

Je vois pas où est le problème ?

Cela ne va pas, il faudra à gauche : \(u(2^{n+2}+1)+v(2^{n+3}-3)\) pour retrouver les suites au rang n+1.
Reprends cela

non mais je me suis trompé
qu'est ce que j'ai marqué ?, c'est pas du tout juste ce que j'ai marqué, c'est complètement faux
u(2^(k+1)+1)+v.(2^(k+2)-3)=1
équivaut à
u(2^(k+2))+v.(2^(k+3)+3)= 2-2u+9v

là ça m'a l'air plus juste (on multiplie par 2, on développe puis on factorise et hop, normalement c'est bon)

u(2^(k+1)+1)+v.(2^(k+2)-3)=1
équivaut à
u(2^(k+2)+2)+v(2^(k+3)-6)=2 (on multiplie les 2 membres par 2)
équivaut à
u(2^(2k+2)+2)-2u +v.(2^(k+3)-3)+9v = 2-2u+9v
équivaut à
u(2^(2k+2))+v.(2^(k+3)+3)= 2-2u+9v (avec la distributivité)

n'est ce pas, non ?

Bonsoir,
Je ne comprends pas le passage suivant :

u(2^(k+1)+1)+v.(2^(k+2)-3)=1
équivaut à
u(2^(2k+2))+v.(2^(k+3)+3)= 2-2u+9v

Peux-tu détailler ?
A bientôt