par sos-math(21) » dim. 6 avr. 2014 15:39
Bonjour,
Ton 0,6 peut s'écrire \(\frac{3}{5}\).
Ce calcul permet de trouver à partir de quel rang \(n\), on a \(1-\left(\frac{3}{5}\right)^n\geq 0,999\)
On passe le 1 de l'autre côté, cela donne \({-}\left(\frac{3}{5}\right)^n\geq 0,999-1\) soit \({-}\left(\frac{3}{5}\right)^n\geq -0,001\) que l'on peut écrire \({-}\left(\frac{3}{5}\right)^n\geq -10^{-3}\).
pour éliminer les signes "-", on peut multiplier par (-1) de chaque côté, ce qui change le sens de l'inégalité et donne \(\left(\frac{3}{5}\right)^n\leq 10^{-3}\)
en prenant les logarithmes de chaque côté, on fait "descendre" les puissances (relation \(\ln(a^n)=n\ln(a)\)) et on a donc \(n\ln\left(\frac{3}{5}\right)\leq -3\ln(10)\)
Or comme \(\frac{3}{5}<1\), on a \(\ln \left(\frac{3}{5}\right)<0\), donc on va diviser par un nombre négatif donc cela va changer le sens de l"inégalité :
\(n\geq\frac{-3\ln(10)}{\ln\left(\frac{3}{5}\right)}\),
Ensuite, on a \(\ln\left(\frac{3}{5}\right)=\ln(3)-\ln(5)=-(\ln(5)-\ln(3))=-\ln\left(\frac{5}{3}\right)\), ce qui permet de faire disparaitre les signes -.
et on a bien \(n\geq\frac{3\ln(10)}{\ln\left(\frac{5}{3}\right)}\),
Est-ce plus clair ?
Bonjour,
Ton 0,6 peut s'écrire [tex]\frac{3}{5}[/tex].
Ce calcul permet de trouver à partir de quel rang [tex]n[/tex], on a [tex]1-\left(\frac{3}{5}\right)^n\geq 0,999[/tex]
On passe le 1 de l'autre côté, cela donne [tex]{-}\left(\frac{3}{5}\right)^n\geq 0,999-1[/tex] soit [tex]{-}\left(\frac{3}{5}\right)^n\geq -0,001[/tex] que l'on peut écrire [tex]{-}\left(\frac{3}{5}\right)^n\geq -10^{-3}[/tex].
pour éliminer les signes "-", on peut multiplier par (-1) de chaque côté, ce qui change le sens de l'inégalité et donne [tex]\left(\frac{3}{5}\right)^n\leq 10^{-3}[/tex]
en prenant les logarithmes de chaque côté, on fait "descendre" les puissances (relation [tex]\ln(a^n)=n\ln(a)[/tex]) et on a donc [tex]n\ln\left(\frac{3}{5}\right)\leq -3\ln(10)[/tex]
Or comme [tex]\frac{3}{5}<1[/tex], on a [tex]\ln \left(\frac{3}{5}\right)<0[/tex], donc on va diviser par un nombre négatif donc cela va changer le sens de l"inégalité :
[tex]n\geq\frac{-3\ln(10)}{\ln\left(\frac{3}{5}\right)}[/tex],
Ensuite, on a [tex]\ln\left(\frac{3}{5}\right)=\ln(3)-\ln(5)=-(\ln(5)-\ln(3))=-\ln\left(\frac{5}{3}\right)[/tex], ce qui permet de faire disparaitre les signes -.
et on a bien [tex]n\geq\frac{3\ln(10)}{\ln\left(\frac{5}{3}\right)}[/tex],
Est-ce plus clair ?
