par sos-math(21) » jeu. 6 févr. 2014 22:19
Bonsoir,
pour cette limite, c'est plus délicat...
Connais-tu \(\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(x+1)}{x}\) ?
Sinon, je te la donne : si on part du quotient : \(\frac{\ln(x+1)-\ln(0+1)}{x-0}\) , c'est le taux d'accroissement de la fonction \(t\mapsto \ln(t+1)\) entre 0 et \(x\).
Or ce taux a une limite finie quand x tend vers 0 : c'est le nombre dérivé de la fonction en 0, \(f'(0)=\left(\ln(x+1)\right)'(0)=g(0)\) où \(g(x)=f'(x)=\frac{1}{x+1}\)
Donc \(\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(x+1)}{x}=1\) : cela doit t'aider un peu si tu écris ta fonction de départ ainsi :
\(\frac{\ln(x+1)}{\ln(2x+1)}=\frac{\ln(x+1)}{x}\times \frac{2x}{\ln(2x+1)}\times \frac{1}{2}\), je te laisse comprendre pourquoi...
Bon courage
Bonsoir,
pour cette limite, c'est plus délicat...
Connais-tu [tex]\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(x+1)}{x}[/tex] ?
Sinon, je te la donne : si on part du quotient : [tex]\frac{\ln(x+1)-\ln(0+1)}{x-0}[/tex] , c'est le taux d'accroissement de la fonction [tex]t\mapsto \ln(t+1)[/tex] entre 0 et [tex]x[/tex].
Or ce taux a une limite finie quand x tend vers 0 : c'est le nombre dérivé de la fonction en 0, [tex]f'(0)=\left(\ln(x+1)\right)'(0)=g(0)[/tex] où [tex]g(x)=f'(x)=\frac{1}{x+1}[/tex]
Donc [tex]\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(x+1)}{x}=1[/tex] : cela doit t'aider un peu si tu écris ta fonction de départ ainsi :
[tex]\frac{\ln(x+1)}{\ln(2x+1)}=\frac{\ln(x+1)}{x}\times \frac{2x}{\ln(2x+1)}\times \frac{1}{2}[/tex], je te laisse comprendre pourquoi...
Bon courage
