Il me parait difficile d'y arriver autrement.
C'est une démonstration corsée pour un niveau terminale.
Pour montrer que [tex]2^r-1[/tex] est bien le reste de la division, il faut montrer [tex]0\leq 2^r-1<2^b-1[/tex].
C'est assez facile en partant de la condition sur [tex]r[/tex] : [tex]0\leq r <b[/tex].
Bonne conclusion.

Malheureusement je ne dispose pas de cette ruse... En attendant, grâce à vous j'ai compris, alors merci beaucoup !

Bonjour,
si tu écris la division euclidienne de [tex]a[/tex] par [tex]b[/tex], il existe un entier [tex]q[/tex] et un entier [tex]r[/tex], [tex]0\leq r<b[/tex], tels que [tex]a=bq+r[/tex]
En élevant à la puissance 2 ce nombre on a [tex]2^a=2^{bq}.\times 2^r[/tex] donc [tex]2^a-1=2^{bq}2^r-1[/tex] et c'est là qu'il faut écrire quelque chose de rusé :
[tex]2^a-1=(2^{bq}-1)2^r-1+2^r[/tex] donc [tex]2^a-1=(\left(2^b\right)^q-1).2^r+2^r-1[/tex].
Or, le nombre [tex]\left(2^b\right)^q-1[/tex] est divisible par [tex]2^b-1[/tex].
En effet, si on reprend la somme des termes d'une suite géométrique de raison [tex]x[/tex] différente de 1, on a [tex]1+x+....+x^{n-1}=\frac{x^n-1}{x-1}[/tex] donc [tex]x^n-1=(x-1)(1+....+x^{n-1})[/tex] donc il existe un nombre entier [tex]Q[/tex], tel que [tex]\left(2^b\right)^q-1=(2^b-1)Q[/tex].
On a donc prouvé que [tex]2^a-1=(2^b-1)Q+2^r-1[/tex]
Il te reste à montrer que le nombre [tex]2^r-1[/tex] est bien le reste de cette division...
Bonne suite

Bonjour !

J'ai un problème avec une question sur les nombres de Mersenne, la voici :
"Pour tout n[tex]\geq[/tex]2, montrer que si r est le reste de la division euclidienne de a par b, alors Mr est le reste de la division euclidienne de Ma par Mb. (Nombre de Mersenne : Mn = [tex]2^{n}[/tex]-1 )

En utilisant a = bq + r, je suis arrivé à l'égalité [tex]2^{a}[/tex] = [tex]2^{bq + r}[/tex], et en essayant de faire apparaître les nombres de Mersenne, je suis arrivé à :
Ma = [([tex]2^{b}[/tex])^(q-1) [tex]\times[/tex] [tex]2^{r}[/tex]] * Mb + ([tex]2^{b}[/tex])^(q-1) * [tex]2^{r}[/tex] - 1
Alors évidemment, si ([tex]2^{b}[/tex])^(q-1) = 1, ça serait parfait, mais m'étonnerait... Alors je suis coincé là.
Sinon, avec les questions antérieures, j'ai montré que si d divise n, alors Md divise Mn, et que si n est composé, alors Mn est composé.
Pourriez-vous m'aider et me guider vers une meilleure voie ?

Merci d'avance pour votre réponse.