Bonsoir,

Lorsque vous rajoutez un point à un polygone à n côtés, alors le nombre de sommets devient n+1, et le nombre de diagonales issues du nouveau sommet est (n+1)-3=n-2.
Le problème c'est que chacune de ces diagonales ne coupent pas toutes les autres diagonales.
Il faut réfléchir à la condition pour qu'une diagonale issue de nouveau sommet coupe une autre diagonale existante.( d'ailleurs attention le rajout d'un sommet transforme un côté en diagonale)
Lorsque cette condition sera mise en évidence( pensez aux extrémités de ces diagonales) il faudra distinguer 2 cas.
Les diagonales qui vérifient la condition et celles qui ne la vérifie pas. Et essayer de compter le nombre de nouveaux points en fonction de n.

Je vous livre une piste de recherche, j'espère qu'elle va aboutir, il y a peut être aussi un raisonnement direct( pas par récurrence) qui permet d'aboutir.

Bon courage, c'est un problème intéressant.

sosmaths

Bon voilà je vais tout mettre
Je travaille en colaboration avec un économiste sur la recherche d'une formule ou plusieurs formules qui donneraient le nombre de points d'intersections entre les diagonales et les côtés d'un polygones régulier à "n" faces. On s'est rendu compte qu'il fallait travailler selon 2 cas : le cas pair et impair en ce qui concerne le nombre de côtés (ce-ci est facile à démontrer géométriquement). Et donc là mon collaborateur m'a donné cet exercice à faire pour m'entraienr pour le bac : démontrer la formule pour le nombre de côté impair. (si vous teste la formule vous vous rendrez compte qu'elle a l'aire de fonctionner parfaitement pour n'importe qu'elle nombre imapair) et donc là je voulais simplement un renseignement au niveau de la méthodologie : peux-t-on démonstrer la formule par currence dans ce cas là. Et si oui , il faudrait troiuvr le lien entre An et An+1 en étudiant ce qui se passe sur la figure lorsqu'on ajoute un côté. Et normalement si la récurrence marche avec ce lien particulier ce la signifierait que la formule et juste et si cela ne marche pas : la formule est fausse ou le lien est faux. C'est bien çà, non ?

Bonjour Léa,

Sans un énoncé plus précis ou une figure, c'est difficile de t'aider davantage ...

SoSMath.

Pardon de vous répondre aussi tard,
on a avec une figure : un polygone régulier à un nombre de côté impair et chaque sommet est relié par un segment aux autres sommets de la figure et cette formule donne le nombre d'intersection de segments dans la figure. Voilà mais notre prof nous a dit qu'on pouvait démontrer la formule en cherchant l'impact sur la figure quand on augmente de 1 le nombre de côtés. Donc il doit être là le lien entre An et An+1 mais le problème c'est que si on trouve le lien est-ce qu'on a le droit de l'utliser dns la récurrence car ce que l'on a observé sur le passage d'un nombre de côté particulier à ce même nombre de côtés +1 n'est peut-être pas vraie pour tous les autres passages dans ce cas là récurrence ne marcherait pas, et il faudrait chercher encore un autre lien. Et donc dans la démonstration il faut aussi expliquer le lien que l'on atrouvé entre An et An+1, non ?

Merci de votre réponse à bientôt

Bonjour Léa,

Ton énoncé doit être incomplet ...
Quel lien y a-t-il entre \(A_n\) et \(A_{n+1}\) ?

SoSMath.

pour tout n impair de la forme de 2k+1 avec k appartient à N et n appartient à N et n >= 3 on :
\(A_n=n+\sum\limits_{i=1}^{n-3} i+\sum\limits_{i=1}^{n-4} 2i+\sum\limits_{i=1}^{n-5} 3i+...+\sum\limits_{i=1}^{1} (n-3)i\)

Léa,

Pour écrire des formules, il faut utiliser le bouton "TeX" ...
Par exemple pour écrire la formule \(A_n=n+\sum\limits_{i=1}^{n-3} i+\sum\limits_{i=1}^{n-4} 2i+\sum\limits_{i=1}^{n-5} 3i+...+\sum\limits_{i=1}^{1} (n-3)i\)

j'ai écrit entre les balises TeX : A_n=n+\sum\limits_{i=1}^{n-3} i+\sum\limits_{i=1}^{n-4} 2i+\sum\limits_{i=1}^{n-5} 3i+...+\sum\limits_{i=1}^{1} (n-3)i.

De plus, c'est quoi tes conditions nécessaires ?

SoSMath.

Pardon cl'expression est juste si les conditions nécessaires sont mises, sinon ... non.

Oui c'est çà, comment fait-on pour pouvoir écrire avec des symboles mathématiques comme vous le faites ?, ça faciliterait la lecture

Bonjour Léa,

Peux-tu me dire si l'expression de \(A_n\) est juste :
\(A_n=n+\sum\limits_{i=1}^{n-3} i+\sum\limits_{i=1}^{n-4} 2i+\sum\limits_{i=1}^{n-5} 3i+...+\sum\limits_{i=1}^{1} (n-3)i\) ?

SoSMath.

Bonjour, on a fait des démonstrations par récurrence, il y a pas mal de temps, je me rappelle très biendu principe, mais pour celle-là j'ai pas mal de mal pourriez vous m'aider s'il vous plait

démonstrer par réucurrence : pour tout n impair de la forme de 2k+1 avec k appartient à N et n appartient à N et n >= 3 , on a :
An = n + somme (à partir de z=1 jusqu'à i=n-3 de z) + somme (à partir de z`=1 jusqu'à ì=n-4 de 2z) + somme (à partir de z``=1 jusquà ì`=n-5 de 3z) + .... + somme ( à partir de h=1 jusqu'à y=1 de (n-3)*h )

à la fin le h et le y correspondent respectivement au z et i prime prime prime jusqu'à la fin de la suite en fait.

En ce qui concerne l'initialisation , j'ai démontrais que la propriété était pvraie au rang premier lorsque que n= 3 (lorsque k=1 puisque n est de la forme 2k+1 avec k appartient à N). Mais pour l'hérédité ...

J'ai essayé de transfomé tout çà en une grande somme de termes d'une suite arithmétique ou géométrique mais sans succès après peut-être que si j'essayé en transformant tout çà en somme télescopique mais bon ... je crois pas que çà marche.

Merci d'avance