La valeur interdite est bien une borne du domaine : il faut donc étudier la limite à droite et la limite à gauche.
Pour la position relative de l'asymptote par rapport à la courbe, il faut étudier le signe de la différence : [tex]f(x)-\Delta=\frac{g(x)}{(x+1)^2}[/tex]
Comme le dénominateur est strictement positif, il suffit d'étudier le signe de g(x) au voisinage de [tex]+\infty[/tex] et de [tex]{-}\infty[/tex]
Je te laisse terminer

Et bien j'ai honte de moi, c'est exactement ce que j'avais fait, mais j'avais oublié de développer à l'intérieur...

Du coup la j'ai fini la partie 2 complètement.
Note: Quand on nous demande les limites aux bornes de l'ensemble de définition, s'il y a une valeur interdite, cela est-il une "borne" ?

Pour la 3)a), on a une valeur interdite en (-1) d'où asymptote verticale (parallèle à l'axe des ordonnées).
b) J'ai réussi (grâce à la définition de l'asymptote oblique avec [tex]f(x)=ax+b+g(x)[/tex] d'où l'asymptote oblique est définie par [tex]\Delta : y=x+1[/tex]).
c) Je n'arrive pas à étudier les positions relatives. il faut faire [tex]f(x)-\Delta[/tex] ?
Je test.

Je suis d'accord avec la fonction [tex]g(x)[/tex];
Pour la dérivée, il faut y aller :
[tex]u(x)=x^3+3x^2+5x+5 \,\,\,\, u^,(x)=3x^2+6x+5[/tex]
[tex]v(x)=(x+1)^2\,\,\,\, v^,(x)=2(x+1)[/tex]
Ecris ta dérivée et simplifie par (x+1) avant de développer ;
tu dois avoir [tex]f^,(x)=\frac{x^3+3x^2+x-5}{(x+1)^3}[/tex] à la fin..
Bon courage, tu peux vérifier tes calculs sur GeoGebra.

Pour la note: Notre prof nous a dit que justement depuis cette année il n'y avait plus ça au programme, mais qu'il nous donnait un dm pour les études sup.

Finalement, je trouve [tex]g(x)=\frac{2x+4}{(x+1)^2}[/tex], ce qui semble juste. Les limites en + et -[tex]\infty[/tex] égalent bien à 0.

Maintenant je bloque encore à la dérivée...

Bonjour,
Pour répondre à ta remarque d'ordre "culturel" : je ne sais pas, je n'enseigne pas en Term S, mais au vu de ton exercice, j'ai envie de dire que c'est toujours au programme !
Première remarque : c'est (-x+1) au dénominateur ou (x+1) ? il me semblerait plus logique que cela soit (x+1) car la fonction n'est pas définie en -1 ;
Je vais donc faire comme si [tex]f(x)=\frac{x^3+3x^2+5x+5}{(x+1)^2}[/tex]
Pour la première question (assez difficile, c'est vrai), il faut partir de ce qu'on nous donne et mettre au même dénominateur :
[tex]x+1+\frac{g(x)}{(x+1)^2}=\frac{(x+1)(x+1)^2}{(x+1)^2}+\frac{g(x)}{(x+1)^2}=\frac{(x+1)(x+1)^2+g(x)}{(x+1)^2}[/tex], on sait que cela doit être égale à [tex]\frac{x^3+3x^2+5x+5}{(x+1)^2}[/tex]
Donc il te reste à développer[tex](x+1)(x+1)^2[/tex] et à voir l'"écart"entre ce que tu trouves et le numérateur de départ, ce qu'il te manquera sera défini comme [tex]g(x)[/tex]
Précise moi[u] l'expression exacte de ta fonction[/u], car il y a des choses qui me semblent bizarres dans les questions suivantes.
Bon courage

Bonjour,

j'ai un dm de TS pour les vacances, et j'ai un peu du mal (notamment la première question).

Soit f la fonction définie sur [tex]R-(-1)[/tex] par [tex]f(x)=\frac{x^3+3x^2+5x+5}{(-x+1)^2}[/tex]

[b]1. Demontrer qu'il existe une fonction g définie sur [tex]R-(-1)[/tex] telle que [tex]f(x)=x+1+g(x)[/tex] et que g(x) tend vers 0 lorsque x tend vers [tex]+\infty[/tex] ou [tex]\infty[/tex][/b]

-> Je n'ai pas réussi la première partie, et donc la suite non plus (car je n'ai pas trouvé la fonction g(x)

[b]2.a) Vérifier que [tex](x-1)(x^2+4x+5)=x^3+3x^2+x-5[/tex][/b]

-> J'ai réussi par développement

[b]b) Calculer la dérivée de f et étudier son signe en utilisant a).[/b]

-> La, je pense que j'ai fais beaucoup d'erreurs. on a donc grâce à la a):
[tex]f(x)=\frac{(x+1)(x^2+4x+5)}{(x+1)^2}[/tex]

Dérivable sur R-{-1}, car fonction rationnelle [tex]\frac{u(x)}{v(x)}[/tex] avec u et et v des polynômes.
On a donc [tex]u(x)=(x-1)(x^2+4x+5)[/tex] d'où [tex]u'(x)=3x^2+6x+1[/tex]
et [tex]v(x)=(x+1)^2[/tex] d'où [tex]v'(x)=2(x+1)[/tex]

Ainsi [tex]f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v'(x)}[/tex]
[tex]f'(x)=\frac{(3x^2+6x+1)(x+1)^2-(x-1)(x^2+4x+5)\times 2(x+1)}{(x+1)^4}[/tex]

[tex]f'(x)=\frac{(x+1)[x^3+3x^2+5x+11]}{(x+1)^4}[/tex]
Je pense que là il y a des erreurs (j'avais factorisé par (x+1) puis j'ai développé.

[b]c) Déterminer les limites aux borne de l'ensemble de définition, puis conclure en dressant le tableau de variations de f[/b]

-> Je trouve en +[tex]\infty[/tex] : +[tex]\infty[/tex]
et en -[tex]\infty[/tex] : -[tex]\infty[/tex]

Mais n'ayant pas réussi la dérivée, je ne peux pas faire la suite.

[b]3. On désigne C la courbe représentative de f dans le plan munie d'un repère orthonormal.
a) Démontrer que C possède une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées.[/b]

-> Je pense qu'il faut étudier les limites en -1;

[b]b) Démontrer que la droite d'équation [tex]y=x+1[/tex] est asymptote oblique delta[/b]

-> On a la réponse grâce au grand 1, que je n'ai pas réussi.

[b]c) Etudier la position relative de C et Delta. Tracer C, D et Delta.[/b]

J'aimerais avoir un peu d'aide, car j'hésite, et lorsque je suis bloqué, j'ai tendance à désespérer... S'il vous plaît.

Bonne journée.

Note annexe de culture générale: Pourquoi les asymptotes obliques ont été enlevées du programme de TS ?