C'est à peu près cela,
Pose [tex]X=-x[/tex] de sorte que lorsque [tex]x[/tex] tend vers [tex]0^-[/tex], [tex]X[/tex] tend vers [tex]0^+[/tex] et pars de :
[tex]\lim_{x\to0,x<0}\frac{\sin(x)}{x}=\lim_{X\to 0, X>0}\frac{\sin(-X)}{-X}=..[/tex] et tu termines comme tu as fait.
c'est un peu plus propre en posant ainsi, mais tu avais pensé à l'essentiel.
Bonne fin de rédaction.

Bonsoir,

d'accord pour la perpendicularité, je ne savais pas.

Je vais essayé de détailler pour la parité car je n'ai pas vraiment compris OÙ on commençait.
On a donc:

[tex]\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin(x)}{x}=1[/tex]

[tex]\lim_{x\to 0^-}\frac{\sin(x)}{x}[/tex]
Comme x tend vers [tex]0^-[/tex], on suppose que x est strictement négatif, d'où:
[tex]\lim_{x\to 0^-}\frac{\sin(-x)}{-x}=\lim_{x\to 0^-}\frac{-\sin(x)}{-x}=\lim_{x\to 0^-}\frac{\sin(x)}{x}=1[/tex] (par comparaison).
Je ne pense pas que c'est ça, c'est trop simple.

Bonjour,
Tu as nécessairement un angle droit, car ta droite est tangente au cercle en (1,0) donc elle est perpendiculaire au rayon (OI).
Sinon, sans angle droit, on ne peut rien faire !
Je te laisse chercher pour la limite à gauche.
Bon courage

Bonjour,

sur le dessin que j'ai repris su internet, il y a en effet un angle droit, mais pas sur celui de mon dm... Bon, je ferai avec, je ne pense pas que je puisse démontrer avec mes moyens actuels ^^.

Sinon, j'avais bien trouvé 1 pour la limite vers 0+. Je vais essayer de bien relire et comprendre ce que vous avez écrit sur la parité, puis je reviendrais vers vous si j'ai encore des problèmes avec cela.

Merci bien de votre aide !

Bonjour,
Pour le triangle rectangle OIT, il y a un symbole d'angle droit sur ton dessin :)
Pour la limite, on est parti de [tex]x\in\left]0\,;\,\frac{\pi}{2}\right[[/tex] donc quand on passe à la limite dans l'inégalité avec les théorème des gendarmes, on a la limite à droite :
[tex]\lim_{x\to 0,x>0}\frac{\sin(x)}{x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin(x)}{x}=1[/tex]
Mais pour tout x>0, la fonction sinus est impaire donc en posant X=-x, on doit obtenir par composition la limite à gauche [tex]\lim_{x\to 0,x<0}\frac{\sin(x)}{x}[/tex].
Bon courage pour la conclusion.

Rebonjour,

Merci bien de votre aide :) ! J'ai bien réussi, mais pour la 4, je ne vois pas comment la parité peut nous aider.
De plus, pour le calcul d'[tex]a_3[/tex], on suppose juste que OIT est rectangle ? On ne doit pas le démontrer ?

Bonjour,
Il y a pas mal de bonnes choses dans ce que tu dis.
Pour la question 2, dans le triangle TOI rectangle en I, on a [tex]\tan(\widehat{IOT})=\frac{\mbox{cote oppose}}{\mbox{cote adjacent}}=\frac{IT}{OI}=\frac{IT}{1}=IT[/tex]
donc on a bien [tex]IT=\tan(x)[/tex]
Pour [tex]a_3[/tex] on a bien [tex]a_3=\frac{OI\times IT}{2}[/tex] car le triangle TOI est bien rectangle en I (par hypothèse), comme [tex]IT=\tan(x)[/tex] et [tex]OI=1[/tex], on a bien ce que tu as trouvé.
Pour l'encadrement, on bien l'aire du secteur angulaire comprise entre l'aire de OCM et celle de OIT.
On obtient bien ce que tu avais trouvé, à savoir :
[tex]\sin(x)\leq x\leq \tan(x)[/tex].
C'est là qu'il faut peut-être ruser : passe à l'inverse dans cet encadrement de nombres strictement positifs (on suppose x>0, donc les tangentes et sinus sont aussi strictement positifs).
L'inverse étant une fonction décroissante, on obtient l'encadrement :
[tex]\frac{1}{\tan(x)}\leq\frac{1}{x}\leq\frac{1}{\sin(x)}[/tex] multiplie tout par [tex]\sin(x)>0[/tex] et tu auras un encadrement sympathique de [tex]\frac{\sin(x)}{x}[/tex] et tu pourras passer à la limite avec le théorème des gendarmes.
Bon courage

Bonjour à tous !

Alors voilà, j'ai un DM pour les vacances, et je n'y arrive pas tellement. Le voici, avec l'image qui va avec:


[b]1. Montrer que la limite de [tex]\frac{sin x}{x}[/tex] en 0 présente une forme indéterminée.[/b]

-> Je pense avoir réussi, car [tex]\lim\limits_{x \to 0} sin x=0[/tex] et [tex]\lim\limits_{x \to 0} x=0[/tex] d'ou forme indéterminée du type [tex]\frac{0}{0}[/tex]

[i]Soit x un réel de [tex]]0;\frac{\pi}{2}[[/tex] et M le point du cercle trigonométrique tel que l'angle [tex](\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})[/tex] soit de mesure x (en radians).[/i]

[b]2.
2.1. Exprimer, en fonction de x, la distance OC.[/b]

-> J'ai trouvé. On a d'après l'image: [tex]C(cosx; 0)[/tex]. Comme O est l'origine du repère, on a donc: [tex]OC=\sqrt{(cos x-0)^2+(0-0)^2}=cos x[/tex]

[b]2.2. Exprimer, en fonction de x, la distance OS.[/b]

-> On a également [tex]S(0;sin x)[/tex]. D'où [tex]OS=\sqrt{(0-0)^2+(sin x-0)^2}=sin x[/tex]

[b]2.3. Exprimer, en fonction de x, la distance IT.[/b]

-> On a [tex]OI=1[/tex] car c'est un cercle trigonométrique et le rayon est OI. Je bloque un peu. Je pense que le triangle OIT est rectangle en I, mais je ne vois pas comment le démontrer. Je sais que je dois trouver que [tex]IT=tan x=\frac{sin x}{cos x}=\frac{OS}{OC}[/tex]. Mais pourquoi ?

[b]2.4. Exprimer, en fonction de x, l'aire [tex]a_1[/tex] du triangle OIM.[/b]

-> Assez simple: [tex]a_1=\frac{base\times hauteur}{2}=\frac{OI\times CM}{2}[/tex]. Après je pense que on a [tex]CM=OS[/tex] mais je ne sais plus comment on le démontre. Je ne vois pas non plus pourquoi CM est une hauteur. C'est une propriété trigonométrique ?
D'où [tex]a_1=\frac{OI\times OS}{2}=\frac{sin x}{2}[/tex]

[b]2.5. Exprimer, en fonction de x, l'aire [tex]a_2[/tex] du secteur angulaire IOM.[/b]

-> J'ai dû me renseigner sur les secteurs angulaires (je ne savais pas ce que c'était) et j'ai donc [tex]a_2=\frac{x}{2}\times R^2[/tex] or le rayon vaut 1, donc [tex]a_2=\frac{x}{2}[/tex]

[b]2.6. Exprimer, en fonction de x, l'aire [tex]a_3[/tex] du triangle OIT.[/b]

-> [tex]a_3=\frac{OI\times IT}{2}=\frac{tan x}{2}[/tex]. Evidemment ça ne marche que i je prouve que IT est perpendiculaire à OI.

[b]3. En remarquant que [tex]a_1\le a_2\le a_3[/tex], donnez un encadrement de [tex]\frac{sin x}{x}[/tex] sur [tex]]0;\frac{\pi}{2}[[/tex].
En déduire [tex]\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{sin x}{x}[/tex][/b]

-> On a donc [tex]\frac{sin x}{2}\le \frac{x}{2}\le \frac{tan x}{2}[/tex]

Soit [tex]sin x\le x\le tan x[/tex]

D'où [tex]\frac{(sin x)^2}{x}\le \frac{sin x}{x}\le \frac{tan xsin x}{x}[/tex].
Je ne sais pas quoi faire après. Je me doute qu'on va devoir utiliser le théorème des gendarmes.

[b]4. En utilisant la parité de [tex]\frac{sin x}{x}[/tex], en déduire [tex]\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{sin x}{x}[/tex][/b]

-> N'ayant pas trouvé la question précédente, je ne pense pas pouvoir résoudre celle-ci.
Cependant, si on utilise la parité, on aurait:
[tex]\frac{sin (-x)}{-x}=\frac{-sin x}{-x}=\frac{sin x}{x}[/tex]

Donc voilà, si vous pouviez m'aider (pas me donner de solution, s'il-vous-plait, je cherche vraiment à comprendre...) je vous en remercierait grandement :) !
Je pense aussi que je n'arrive pas à avancer suite à des lacunes de définitions trigonométriques.


Bonne journée !