Bonjour,
As-tu vu le théorème de Bezout ? Avec le théorème de bezout c'est plus clair.
Sinon, on travaille comme tu l'as un peu fait :
si d=pgcd(A,B), alors d|A et d|B, donc d|5A-2B et d|19m
puis d|18A-2B donc d|19n donc d est un diviseur commun de 19m et 19n et d divise donc le pgcd de 19m et 19n, lequel est 19 (en effet le pgcd de 19m et 19n est le seul entier k tel que 19m=kp et 19n=kp', avec p et p' premiers entre eux, donc comme m et n sont premiers entre eux, par unicité, on a bien pgcd(19n;19m)=19) . donc d=1 ou bien d=19.
Reprends tout cela et surtout rédige bien tes réponses, en citant bien les propriétés utilisées (c'est important en arithmétique, car il y a plusieurs propriétés qui se ressemblent et on peut faire des amalgames)
Bon courage

[quote="sos-math(12)"]Et la remarque pour le 2) est pertinente. reste à la mettre en oeuvre.[/quote]
Ok merci, il faut bien démontrer : [tex](m\wedge n=1)\quad\Longrightarrow\quad(A\wedge B=19).[/tex]

Si on pose : [tex]d=A\wedge B[/tex], il est clair que l'on a :
[tex](d|A\text{ et }d|B)\quad\Longrightarrow\quad(d|19n\text{ et }d|19m).[/tex]
De plus, si on remarque que : [tex]19\times(m\wedge n)=(19n\wedge 19m)=19,[/tex]
Finalement, on en déduit que : [tex](A\wedge B=19)\ ?[/tex]

Merci pour vos remarques,
@+

Bonjour :

Bonne démarche pour le 1).
Et la remarque pour le 2) est pertinente. reste à la mettre en oeuvre.

Bonne continuation.

Merci pour ta réponse.
[quote="sos-math(12)"]Il me semble qu'il y a une erreur de raisonnement dès le début. En effet en utilisant une méthode par combinaison on obtient que [tex]m=\frac{5A-2B}{19}[/tex]. Ce qui ne signifie absolument pas que 19 divise m.[/quote]Alors, j'étais vraiment loin de la solution...

1°) Ok, on trouve par combinaison/résolution suivant [tex]n[/tex] et [tex]m[/tex] :
[tex]\qquad 19n=-18A+11B\text{ et }19m=5A-2B.[/tex]
- Rappels : [tex](\,d|a\text{ et }d|a-b\,)\Rightarrow d|b,[/tex] et Th Gauss : [tex](\,d|ab\text{ et }d\wedge a=1\,)\Rightarrow d|b.[/tex]
SI [tex]19|B\quad\Rightarrow\quad 19|(11B-19n)\quad\Rightarrow\quad 19|18A\quad\Rightarrow\quad 19|A,[/tex]
SI [tex]19|A\quad\Rightarrow\quad 19|(5A-19m)\quad\Rightarrow\quad 19|2B\quad\Rightarrow\quad 19|B,[/tex]
C'était pas évident, mais on a démontré que : [tex]19|A\quad\Longleftrightarrow\quad 19|B.[/tex]

2°) Montrer que [tex]A[/tex] et [tex]B[/tex] ne peuvent avoir d'autre diviseur commun que [tex]1[/tex] et [tex]19[/tex] (nb 1er) équivaut à dire que : [tex]A\wedge B=19.[/tex]
Ce qui revient à démontrer que : [tex](m\wedge n=1)\quad\Longrightarrow\quad(A\wedge B=19)\ ?[/tex]

@+

Bonsoir

Il me semble qu'il y a une erreur de raisonnement dès le début. En effet en utilisant une méthode par combinaison on obtient que [tex]m=\frac{5A-2B}{19}[/tex]. Ce qui ne signifie absolument pas que 19 divise m.

Bonne continuation.

Bonjour,

J'ai besoin de votre expertise pour cet exercice qui me donne du mal.
Il est articulé autour des propriétés de la divisibilité et du PGCD.

Soit [tex](m,n)\in\mathbb{N}^2[/tex], deux entiers naturels quelconques,
on considère les nombres :
[tex]A=11m+2n[/tex] et [tex]B=18m+5n[/tex]
1°) Démontrer l'équivalence : [tex]19|A\quad\Longleftrightarrow\quad 19|B[/tex]
2°) On suppose [tex]m\wedge n=1[/tex], montrer que [tex]A[/tex] et [tex]B[/tex]
ne peuvent avoir d'autre diviseur commun que [tex]1[/tex] et [tex]19.[/tex]
_______________________________________________

1°) [tex]19=55\times 11-18\times 2[/tex] est le déterminant de ce petit système en [tex]n[/tex] et [tex]m.[/tex]
On en déduit immédiatement que : [tex]19|m[/tex] et [tex]19|n[/tex].
Maintenant j'utilise la règle de la distributivité de l'implication et, j'espère, sans se vautrer !?
[tex]\Big[(19|m[/tex] et [tex]19|n)\Rightarrow 19|A\Big]\Rightarrow\Big[(19|m[/tex] et [tex]19|n)\Rightarrow 19|B\Big]\text{ donc }(19|m[/tex] et [tex]19|n)\Rightarrow(19|A\Rightarrow 19|B)[/tex]
De la même façon : [tex](19|B\Rightarrow 19|A)\text{ donc }(19|A\quad\Longleftrightarrow\quad 19|B).\quad[/tex] CQFD ?

2°) Montrer que [tex]A[/tex] et [tex]B[/tex] ne peuvent avoir d'autre diviseur commun que [tex]1[/tex] et [tex]19[/tex] (nb 1er) équivaut à dire que : [tex]A\wedge B=19.[/tex]
Ce qui revient à démontrer que : [tex](m\wedge n=1)\quad\Longrightarrow\quad(A\wedge B=19)\ ?[/tex]

J'attends vos réponses/conseils,
Merci @+