par Anaïs » mer. 2 oct. 2013 19:01
Bonjour à tous,
J'ai un exercice de math assez difficile, et je suis bloqué à une question, j'aimerais avoir un peu d'aide s'il-vous-plaît.
Voilà mon exercice:
Soit a, b, c et d quatre nombre réel (c différent de 0). On définit la suite \((U_n)_{n\in N}\) par:
\(U_0\in R\) et \(U_{n+1}=\frac{aU_n+b}{cU_n+d}\)
Et on suppose que, pour tout \(n\in N\), \(cU_n+d\ne0\).
Soit f la fonction définie sur \(R-(-\frac{d}{c})\) par \(f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\)
1. Montrer que si \(ad-bc=0\), alors la suite \((U_n)_{n\in N}\) est constante à partir du rang 1.
-> J'ai étudié la dérivée et ça marche.
On suppose désormais \(ad-bc\ne 0\)
2. Interpréter graphiquement les solutions de l'équation:
\(x=\frac{ax+b}{cx+d}\) (E)
-> Je ne suis pas sûre, mais je pense qu'il peut y avoir soit 0 solution ou 1 solution ou 2 solutions.
3. Montrer que (E) est équivalente à une équation du second degré dont le discriminant \(\Delta\) vaut:
\(\Delta = (d+a)^2-4(ad-bc)\)
-> J'ai réussi également, en développant les 2 expressions de manière à arriver à un même résultat.
4. Étude des cas \(\Delta =0\) et \(\Delta >0\).
a. On suppose \(\Delta =0\) et on note \(\gamma\) l'unique solution de (E).
Soit \(U_0 \ne \gamma\). On pose \(V_n=\frac{1}{U_n-\gamma}\);
Montrer que \((V_n)\) est une suite arithmétique de raison \(r=\frac{2c}{a+d}\)
-> Alors là, j'ai essayé de calculer \(V_{n+1}-V_n\) et en remplaçant du coup \(U_{n+1}\) par sa valeur donnée dans l'énoncé. J'ai aussi déduis que \(\gamma =\frac{d-a}{2c}\). Mais le développement... vraiment dur.C'est cette question qui me bloque tout.
b. On suppose \(\Delta >0\). On note \(\alpha\) et \(\beta\) les solutions distinctes de (E).
Soit \(U_0 \in \{\alpha , \beta \}\). On pose \(V_n=\frac{U_n-\alpha }{U_n-\beta }\).
Montrer que la suite \((V_n)\) est définie et géométrique et de raison \(q=\frac{c\beta +d}{c\alpha +d}\).
-> ... Je n'ai même pas réussi la question d'avant.
5. On définit la suite \((U_n)_{n\in N}\) par:
\(U_0=0\) et \(U_{n+1}=`frac{3U_n+2}{U_n+4}\).
Montrer que \(\lim\limits_{x \to +\infty} U_n=1\).
Voilà, si vous pouviez m'aider, je vous en remercierais énormément :).
Bonjour à tous,
J'ai un exercice de math assez difficile, et je suis bloqué à une question, j'aimerais avoir un peu d'aide s'il-vous-plaît.
Voilà mon exercice:
[i]Soit a, b, c et d quatre nombre réel (c différent de 0). On définit la suite [tex](U_n)_{n\in N}[/tex] par:
[tex]U_0\in R[/tex] et [tex]U_{n+1}=\frac{aU_n+b}{cU_n+d}[/tex]
Et on suppose que, pour tout [tex]n\in N[/tex], [tex]cU_n+d\ne0[/tex].
Soit f la fonction définie sur [tex]R-(-\frac{d}{c})[/tex] par [tex]f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}[/tex][/i]
[b]1. Montrer que si [tex]ad-bc=0[/tex], alors la suite [tex](U_n)_{n\in N}[/tex] est constante à partir du rang 1.[/b]
-> J'ai étudié la dérivée et ça marche.
[b]On suppose désormais [tex]ad-bc\ne 0[/tex][/b]
[b]2. Interpréter graphiquement les solutions de l'équation:
[tex]x=\frac{ax+b}{cx+d}[/tex] (E)[/b]
-> Je ne suis pas sûre, mais je pense qu'il peut y avoir soit 0 solution ou 1 solution ou 2 solutions.
[b]3. Montrer que (E) est équivalente à une équation du second degré dont le discriminant [tex]\Delta[/tex] vaut:
[tex]\Delta = (d+a)^2-4(ad-bc)[/tex][/b]
-> J'ai réussi également, en développant les 2 expressions de manière à arriver à un même résultat.
[b]4. Étude des cas [tex]\Delta =0[/tex] et [tex]\Delta >0[/tex].
a. On suppose [tex]\Delta =0[/tex] et on note [tex]\gamma[/tex] l'unique solution de (E).[/b]
[i]Soit [tex]U_0 \ne \gamma[/tex]. On pose [tex]V_n=\frac{1}{U_n-\gamma}[/tex];
Montrer que [tex](V_n)[/tex] est une suite arithmétique de raison [tex]r=\frac{2c}{a+d}[/tex][/i]
-> Alors là, j'ai essayé de calculer [tex]V_{n+1}-V_n[/tex] et en remplaçant du coup [tex]U_{n+1}[/tex] par sa valeur donnée dans l'énoncé. J'ai aussi déduis que [tex]\gamma =\frac{d-a}{2c}[/tex]. Mais le développement... vraiment dur.C'est cette question qui me bloque tout.
[b]b. On suppose [tex]\Delta >0[/tex]. On note [tex]\alpha[/tex] et [tex]\beta[/tex] les solutions distinctes de (E).[/b]
[i]Soit [tex]U_0 \in \{\alpha , \beta \}[/tex]. On pose [tex]V_n=\frac{U_n-\alpha }{U_n-\beta }[/tex].
Montrer que la suite [tex](V_n)[/tex] est définie et géométrique et de raison [tex]q=\frac{c\beta +d}{c\alpha +d}[/tex].[/i]
-> ... Je n'ai même pas réussi la question d'avant.
[b]5. On définit la suite [tex](U_n)_{n\in N}[/tex] par:
[tex]U_0=0[/tex] et [tex]U_{n+1}=`frac{3U_n+2}{U_n+4}[/tex].[/b]
[i]Montrer que [tex]\lim\limits_{x \to +\infty} U_n=1[/tex].[/i]
Voilà, si vous pouviez m'aider, je vous en remercierais énormément :).
