par George » dim. 29 sept. 2013 15:47
Bonjour, j'ai un dm pour dans quelques semaines, et le sujet de celui-ci est "Algorithme de Newton".
Soit f la fonction définie sur \(]0; +\infty[\) par \(f(x)=x^2-2\)
On note \(C_f\) sa courbe représentative.
Soit \(n\in N\) et \(U_n\in ]0; +\infty[\).
Montrer que \(T_n\), la tangente à \(C_f\) au point d'abscisse \(U_n\), coupe l'axe des abscisses en \(U_{n+1}\) avec: \(U_{n+1}=\frac{1}{2}(U_n+\frac{2}{U_n})\) (R)
Ca j'ai réussi.
1. Justifier que \(1<\sqrt{2}<2\)
Je suis parti du principe que \(1<2<4\), d'où \(\sqrt{1}<\sqrt{2}<\sqrt{4}\) et que vu que la fonction \(\sqrt{x}\) est définie et croissante sur \([0; +\infty[\), l'inégalité ne change pas de sens.
D'où \(1<\sqrt{2}<2\).
Mais je ne suis pas sûr que ce soit ça qu'il fallait faire.
2. On pose \(U_0=2\). Grâce à la relation (R) précédente, justifier que l'on peut définir la suite \((U_n)\) sur \(N\).
J'ai calculé \(U_1,U_2\) et \(U_3\) mais je ne vois pas comment justifier.
3. Montrer que, pour tout \(n\in N\), \(U_n\ge 1\).
Récurrence ? J'ai testé mais je me suis embrouillé.
4. Montrer que, pour tout \(n\in N\), on a:
\(|U_{n+1}-\sqrt{2}|\le\frac{1}{2}(U_n-\sqrt{2})^2\) (H)
5. Traduire en langage courant ce dernier résultat. Qu'a-t-il de remarquable ?
La distance entre \(U_n\) et \(\sqrt{2}\) est inférieure où égale à la moitié du carré de cette distance. Je ne sais pas quoi remarquer...
6. En déduire que, pour tout \(n\in N\), on a:
\(|U_{n+1}-\sqrt{2}|\le\frac{1}{2^{2_n-1}}\)
7. Conclure en donnant une condition suffisante pour connaître une approximation de \(\sqrt{2}\) à \(10^{-10}\) près.
Je ne risque pas de répondre à cette question en sachant que je n'ai pas réussi la plupart ^^
Si vous pouviez m'aider s'il vous plaît, je vous serai remerciable.
Bonne journée
Bonjour, j'ai un dm pour dans quelques semaines, et le sujet de celui-ci est "Algorithme de Newton".
[i]Soit f la fonction définie sur [tex]]0; +\infty[[/tex] par [tex]f(x)=x^2-2[/tex]
On note [tex]C_f[/tex] sa courbe représentative.
Soit [tex]n\in N[/tex] et [tex]U_n\in ]0; +\infty[[/tex].
Montrer que [tex]T_n[/tex], la tangente à [tex]C_f[/tex] au point d'abscisse [tex]U_n[/tex], coupe l'axe des abscisses en [tex]U_{n+1}[/tex] avec: [tex]U_{n+1}=\frac{1}{2}(U_n+\frac{2}{U_n})[/tex] (R)[/i]
Ca j'ai réussi.
[b]1. Justifier que [tex]1<\sqrt{2}<2[/tex][/b]
Je suis parti du principe que [tex]1<2<4[/tex], d'où [tex]\sqrt{1}<\sqrt{2}<\sqrt{4}[/tex] et que vu que la fonction [tex]\sqrt{x}[/tex] est définie et croissante sur [tex][0; +\infty[[/tex], l'inégalité ne change pas de sens.
D'où [tex]1<\sqrt{2}<2[/tex].
Mais je ne suis pas sûr que ce soit ça qu'il fallait faire.
[b]2. On pose [tex]U_0=2[/tex]. Grâce à la relation (R) précédente, justifier que l'on peut définir la suite [tex](U_n)[/tex] sur [tex]N[/tex].[/b]
J'ai calculé [tex]U_1,U_2[/tex] et [tex]U_3[/tex] mais je ne vois pas comment justifier.
[b]3. Montrer que, pour tout [tex]n\in N[/tex], [tex]U_n\ge 1[/tex].[/b]
Récurrence ? J'ai testé mais je me suis embrouillé.
[b]4. Montrer que, pour tout [tex]n\in N[/tex], on a:[/b]
[tex]|U_{n+1}-\sqrt{2}|\le\frac{1}{2}(U_n-\sqrt{2})^2[/tex] (H)
[b]5. Traduire en langage courant ce dernier résultat. Qu'a-t-il de remarquable ?[/b]
La distance entre [tex]U_n[/tex] et [tex]\sqrt{2}[/tex] est inférieure où égale à la moitié du carré de cette distance. Je ne sais pas quoi remarquer...
[b]6. En déduire que, pour tout [tex]n\in N[/tex], on a:[/b]
[tex]|U_{n+1}-\sqrt{2}|\le\frac{1}{2^{2_n-1}}[/tex]
[b]7. Conclure en donnant une condition suffisante pour connaître une approximation de [tex]\sqrt{2}[/tex] à [tex]10^{-10}[/tex] près.[/b]
Je ne risque pas de répondre à cette question en sachant que je n'ai pas réussi la plupart ^^
Si vous pouviez m'aider s'il vous plaît, je vous serai remerciable.
Bonne journée
