par sos-math(12) » mar. 24 sept. 2013 19:12
Bonjour,
Pour l'exemple concerné on peut remarquer que \(\forall n \in \mathbb{N}\) , \(u_n>0\).
On peut donc définir \(v_n=ln(u_n)=ln(\frac{n}{2^n})=ln(n)-n ln(2)\). Soit \(v_n=n(\frac{ln(n)}{n}-ln(2))\).
On peut obtenir la limite de \(v_n\). \(\lim_{n \to + \infty} v_n=- \infty\).
Et \((v_n=ln(u_n)) \Leftrightarrow (u_n=e^{v_n})\).
Donc \(\lim_{n \to + \infty} u_n=0^{+}\).
Remarque : dans ce cas on peut aussi utiliser le fait que \(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+1}{2n}\). Or \((n>1) \Rightarrow (0<\frac{n+1}{2n}<1)\) Donc la suite \((u_n)\) est décroissante.
Elle est minorée par 0 (évident) donc elle est convergente.
Mais il est plus compliqué d'obtenir sa limite...
Bonne continuation.
Bonjour,
Pour l'exemple concerné on peut remarquer que [tex]\forall n \in \mathbb{N}[/tex] , [tex]u_n>0[/tex].
On peut donc définir [tex]v_n=ln(u_n)=ln(\frac{n}{2^n})=ln(n)-n ln(2)[/tex]. Soit [tex]v_n=n(\frac{ln(n)}{n}-ln(2))[/tex].
On peut obtenir la limite de [tex]v_n[/tex]. [tex]\lim_{n \to + \infty} v_n=- \infty[/tex].
Et [tex](v_n=ln(u_n)) \Leftrightarrow (u_n=e^{v_n})[/tex].
Donc [tex]\lim_{n \to + \infty} u_n=0^{+}[/tex].
Remarque : dans ce cas on peut aussi utiliser le fait que [tex]\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+1}{2n}[/tex]. Or [tex](n>1) \Rightarrow (0<\frac{n+1}{2n}<1)[/tex] Donc la suite [tex](u_n)[/tex] est décroissante.
Elle est minorée par 0 (évident) donc elle est convergente.
Mais il est plus compliqué d'obtenir sa limite...
Bonne continuation.
