par sos-math(21) » dim. 22 sept. 2013 11:01
Bonjour,
Tu veux prouver \((A\backslash B)\cap(C\backslash D)=(A\cap C)\backslash (B\cup D)\)
On travaille par double inclusion :
Prouve d'abord \((A\backslash B)\cap(C\backslash D)\subset (A\cap C)\backslash (B\cup D)\)
Prenons \(x\in(A\backslash B)\cap(C\backslash D)\), cela signifie \(x\in A\backslash B \, \mbox{et}\, x\in C\backslash D\)
donc \(x\in A \, \mbox{et} x\in B\), mais \(x \notin C \, \mbox{et}\, x\notin D\) donc \(x\in A\cap B\), mais \(x\notin C\cup D\) donc \(x\in (A\cap C)\backslash (B\cup D)\) d'où la première inclusion.
A toi de faire dans l'autre sens : \((A\cap C)\backslash (B\cup D) \subset (A\backslash B)\cap(C\backslash D)\)
Bon courage.
Bonjour,
Tu veux prouver [tex](A\backslash B)\cap(C\backslash D)=(A\cap C)\backslash (B\cup D)[/tex]
On travaille par double inclusion :
Prouve d'abord [tex](A\backslash B)\cap(C\backslash D)\subset (A\cap C)\backslash (B\cup D)[/tex]
Prenons [tex]x\in(A\backslash B)\cap(C\backslash D)[/tex], cela signifie [tex]x\in A\backslash B \, \mbox{et}\, x\in C\backslash D[/tex]
donc [tex]x\in A \, \mbox{et} x\in B[/tex], mais [tex]x \notin C \, \mbox{et}\, x\notin D[/tex] donc [tex]x\in A\cap B[/tex], mais [tex]x\notin C\cup D[/tex] donc [tex]x\in (A\cap C)\backslash (B\cup D)[/tex] d'où la première inclusion.
A toi de faire dans l'autre sens : [tex](A\cap C)\backslash (B\cup D) \subset (A\backslash B)\cap(C\backslash D)[/tex]
Bon courage.
