A bientôt sur SOS-math, Aurélien.

Merci c'était vraiment simple en fait, ah il faut juste du bon sens, et de la créativité, merci

Bonsoir Aurélien,

Donc si tu as un produit c'est ton résultat qui est bon ... enfin presque !
U(n+1) -1 = (5Un-1)(Un+3)-1
= 5Un²+[color=#FF0000]14[/color]Un-4.

Cependant avec le produit il est plus simple de montrer par récurrence que Un > 1 (donc il est différent de 1 !)
Initialisation : ....
Hérédité :
Par hypothèse de récurrence [tex]u_n > 1[/tex] donc [tex]5u_n -1 > 4[/tex] et [tex]u_n+3> 4[/tex]
donc [tex](5u_n -1)(u_n+3) > 4\times 4 = 16[/tex] et 16 > 1 donc [tex]u_{n+1} > 1[/tex]
...

A toi de terminer,
SoSMath.

Bonjour dans mon énoncé j'ai le produit

Bonjour Aurélien,

Tout d'abord dans l'énoncé, as-tu [tex]u_{n+1}=(5u_n-1)(u_n+3)[/tex] ou [tex]u_{n+1}=\frac{5u_n-1}{u_n+3}[/tex] ?

SoSMath.

Excusez-moi , mais je ne comprends pas comment vous pouver trouver U(n+1)-1=(4Un-4)/(Un+3) car en résolvant l'égalité U(n+1)-1=(4Un-4)/(Un+3) je trouve que c'est égale seulement pour une valeur de Un et non pour toute les valeurs de Un : donc ça me trouble .
Moi je trouve U(n+1) -1 = (5Un-1)(Un+3)-1
= 5Un²+15Un-4
Ensuite U(n+1)-1=o si et seulmeent si 5Un²15Un-4=0
si et seulement si (Un+1.4+((racine carré de 69)/(5))) * (Un+1.4-((racine carré de 69) /(5)))
ensuite il faudrait transformer çà pour faire apparaitre U(n+1) ds le numérateur d'un quotient
mais je n'arrive point à le faire

Re-bonjour,
En calculant, tu dois obtenir que [tex]U_{n+1}-1=\frac{4(U_n-1)}{u_n+3}[/tex] donc [tex]U_{n+1}-1=0[/tex] lorsque le numérateur de la fraction qui définit cette différence vaut 0, c'est-à-dire lorsque [tex]U_n-1=1[/tex]. Or Par hypothèse de récurrence [tex]U_n\neq 1[/tex] donc [tex]U_{n+1}\neq 1[/tex] aussi.
C'est ce qu'il faut démontrer pour l'hérédité : simplement, il faut travailler avec des égalités pour obtenir l'équivalence [tex]U_{n+1}-1=0 \Leftrightarrow U_n-1=0[/tex]
Et ensuite conclure la "fausseté" de l'une entraine la "fausseté" de l'autre.
Bon courage pour la rédaction.
A bientôt sur sos-math

Vous voulez dire que si les racines de Un+1 - 1 ne valent pas 1, la propriété est vraie au rang n+1 ?
Merci bcp

Vous voulez dire que l'on doit calculer les racines de (Un+1) - 1 = 0 et que si ces racines ne sont pas égales à 1, on aura démontrer que la propriété est vraie ? ( pour x = Un )

Merci, j'avais trouvé la réponse au début mais celle-ci me paraissait être trop simple pour vraiment convenir.

Bonjour,
je ne comprends pas ta rédaction pour l'initialisation :
au rang n=0 : [tex]U_0=2[/tex] donc [tex]U_0\neq 1[/tex] et c'est prouvé au rang 0 : c'est seulement la valeur de [tex]U_n[/tex] qui doit être différente de 1 pas celle de son rang.
Pour l'hérédité, on suppose qu'il existe un rang n tel que [tex]P_n:U_n\neq 1"[/tex] soit vraie et on veut montrer que [tex]P_{n+1}[/tex] est encore vraie.
Comme il n'est jamais facile de raisonner avec des [tex]\neq[/tex], on raisonne plutôt avec des = :
On forme la différence [tex]u_{n+1}-1[/tex], on la met sous la forme d'un quotient en utilisant l'expression de [tex]U_{n+1}[/tex] en fonction de [tex]U_n[/tex].
A quel moment ce quotient peut-il valoir 0 ?.... cela te permettra de conclure (tu dois trouver [tex]U_{n+1}-1=0[/tex], lorsque [tex]U_n=1[/tex], comme c'est faux au rang n, c'est faux au rang n+1.
A toi de terminer la rédaction..
Bon courage
A bientôt sur sos-math

Enoncé :
Un+1=(5Un-1)(Un+3) U0=2
Démontrer par récurrence que pour tout n appartient à N (entiers naturels) , on a : Un différent de 1
est ce que vous sauriez résoudre ce problème

Voilà ce que j'ai réussi à faire mais je bloque à l'hérédité :


-Intialistation :
On démontre que la propriété de récurrence est vrai au premier rang
n=0 2est bien différent de 1
U0=2 2 est bien différent de 1

Donc dans les 2 cas on a bien 2 différent donc la propriété est vrai au rang n=0

-Hérédité :
Supposons qu'il existe un entier k tel que K(k) soit vraie, c'est à dire tel que Un différent de 1
Montrons que K(k+1) est vraie, c'est à dire U(n+1) en indice est différent de 1

-Conclusion :
Pour tout n appartient à N on a Un différent de 1