Manon,
Ta limite dépend de a et de b, tu auras [tex]a_n-\ell=(a+b-1)^{n-1}\times(a_1-\ell)[/tex]
En faisant tendre n vers [tex]+\infty[/tex], comme a et b sont deux probabilités, alors[tex]a\leq 1[/tex] et [tex]b\leq 1[/tex], donc [tex]a+b\leq 2[/tex] et [tex]a+b-1\leq 1[/tex]
si [tex]a+b-1=1[/tex], alors la suite est constante et [tex]a_n=a_1[/tex] pour tout n,
si [tex]a+b-1<1[/tex], alors [tex](a+b-1)^{n-1}\to 0[/tex] donc [tex]a_n\to \ell[/tex]
Bonne nuit

ok d'accord je comprends mieux avec votre explication
et donc pour la derni_re question la limite de (bn) est ...en fait ce sont les a et b qui me gènent pour déterminer cette limite

Re-bonsoir
L'équation a pour inconnue [tex]\ell[/tex] : les autres lettres désignent des paramètres et ne sont pas des inconnues.
donc on a en passant tous les [tex]\ell[/tex] à gauche : [tex]\ell(1-(a+b-1))=1-b[/tex], il te reste à réduire la parenthèse et à diviser...
Normalement si c'est bien fait, en posant [tex]b_{n+1}=a_{n+1}-\ell[/tex], tu dois avoir [tex]b_{n+1}=(a+b-1)b_n[/tex], ce qui prouve que [tex](b_n)[/tex] est géométrique de raison (a+b-1) donc pour tout n, on a [tex]b_n=(a+b-1)^{n-1}\times b_1[/tex], puis on retrouve [tex]a_n[/tex]...
Je sais, c'est compliqué mais je ne vois pas d'autres méthodes et je persiste en disant que cet exercice est bien compliqué pour des terminales.
Bon courage pour la suite

ok :

l=(a+b-1)l+1-b beaucoup d'inconnues pour une seule équation non ? ;)

de plus , l'expression de bn me semble difficile à trouver pourriez vous me donner un peu plus d'indications ? merci beaucoup !

Bonsoir,
P(A_k) est justement l'inconnue donc tu ne la connais pas !
On te demande une relation où il y a du [tex]P(A_k)[/tex] et du [tex]P_{A_{k+1}}[/tex] : c'est une relation de récurrence qui est recherchée et c'est bien ce qu'on te demande de trouver dans la question 1
Une fois que tu as obtenu :
[tex]P(A_{k+1}) = (a + b - 1)P(A_k) + 1 - b.[/tex], en notant [tex]a_k=P(A_k)[/tex], tu as
[tex]a_{k+1}=(a+b-1)a_k+1-b[/tex], ce qui est bien la forme d'une suite arithmético-géométrique :
1) il faut trouver le point fixe [tex]\ell[/tex], en résolvant l'équation : [tex]\ell=(a+b-1)\ell+1-b[/tex]
2) la suite [tex](b_k)[/tex] définie par [tex]b_k=a_k-\ell[/tex] est une suite géométrique (à prouver ) de raison [tex]a+b-1[/tex], tu pourras donc obtenir l'expression de [tex]b_n[/tex] en fonction de n
Tu en déduiras l'expression de [tex]a_n(=p_n[/tex] dans ton énoncé) en fonction de n et tu pourras en déduire la limite de cette suite.
Bon courage, ce n'est pas un exercice facile et ce n'est pas du niveau de terminale
A bientôt sur sos math

c'est un exo entre terminale et le supérieur oui...

donc :

a) P(Ak+1)=P(Ak)a+(1-P(Ak)(1-b) mais que vaut p(Ak) ?

b) ok je vois comment faire j'appliquer les différentes formules relatives aux suites arithmético-géométriques

c) en fait il faut calculer la proba qu'elle est pris le bus A le jour k etet qu'il est arrivé à l'heure non ? mais comment faire ?

merci

Bonjour,
Le problème est un peu plus difficile que cela :
On recherche [tex]P(A_{k+1})[/tex], c'est à dire la probabilité qu'elle prenne le bus A le jour k+1.
Cet événement est réalisé lorsque :
- soit elle a pris le bus A le jour k (la veille) et il est arrivé à l'heure ;
- soit elle a pris le bus B le jour k et il est arrivé en retard ;
Si on note H l'événement "elle arrive à l'heure", et [tex]B_k[/tex], l'événement "elle prend le bus B le jour k", alors on a
[tex]A_{k+1}=\left(A_k\cap H\right)\cup\left(B_k\cap \bar{H}\right)[/tex]
Cette union étant disjointe (événements incompatibles), on a en passant aux probabilités :
[tex]P(A_{k+1})=P\left(A_k\cap H\right)+P\left(B_k\cap \bar{H}\right)[/tex]
En passant ensuite aux probabilités conditionnelles :
[tex]P(A_{k+1})=P(A_k)\times P_{Ak}(H)+P(B_k)\times P_{B_k}\left( \bar{H}\right)[/tex]
On a ensuite : [tex]P_{Ak}(H)=a[/tex], [tex]P(B_k)=1-P(A_k)[/tex] (car le jour k, on prend soit le A soit le B, donc [tex]B_k=\bar{A_k}[/tex]) et [tex]P_{B_k}\left( \bar{H}\right)=1-b[/tex]
Je te laisse faire les calculs pour obtenir la première question.
Pour la question suivante, la relation que tu as obtenue en 1 te montre que la suite [tex](P(A_k))_{k\geq 1}[/tex] est une suite arithmético géométrique : cela dépasse le programme de terminale. D'ailleurs, est-ce bien un exercice de terminale ?
Si tu ne sais pas faire la suite, renvoie moi un message pour que je t'aide.
Bon courage
A bientôt sur sos math

Bonjour à tous; j'aomerais avoir de l'aide ici :)
Pour se rendre au travail, Mme T. prend le bus en face de chez elle. Elle a le choix
entre celui de la ligne A et celui de la ligne B. Le premier jour, elle choisit un bus au hasard. Les jours suivants, elle prend le même bus que la veille si celui-ci lui a permis d’arriver à l’heure au bureau la veille, sinon, elle en change. La probabilité que Mme T. arrive à l’heure par la ligne A est a et par la ligne B est b.
Nous noterons Ak l’évènement "Le kième jour, Mme T. prend le bus A".
1. Montrer que pour tout k dans N; P(Ak+1) = (a + b - 1)P(Ak) + 1 - b.
2. Déterminer alors P(An) en fonction de n.
3. Calculer la probabilité pn que Mme T. arrive à l’heure le nième jour.
4. Quelle est la limite de la suite (pn) ?

j'ai fait un arbre : 2 premières branches A et B de probas respectives 1/2 puis deux aurtes branches partant de A avec pour proba a et 1-a et idem pour B avec pour probas b et 1-b. Malgré ça je ne parviens pas à démontrer l'égalité de la question a).

merci !