Bonjour,
comme [tex]\lim_{x\to 0}\frac{-1}{x}=-\infty[/tex], on a par composition [tex]\lim_{x\to 0} e^{\frac{-1}{x}}=0=f(0)[/tex] donc f est continue en 0 car la limite en 0 est égale à l'image de f en 0.
pour la dérivabilité tu es bien partie : je te propose un petit changement de variable en posant [tex]X=\frac{1}{x}[/tex] donc lorsque x tend vers 0, X tend ver + l'infini :
on a alors [tex]\lim_{x\to 0} \frac{e^{\frac{-1}{x}}}{x}=\lim_{X\to +\infty}Xe^{-X}=lim_{X\to +\infty}\frac{X}{e^{X}}=0[/tex] (croissance comparée exponentielle/puissance en l'infini : l'exponentielle est plus forte que la puissance en l'infini) donc la limite du taux d'accroissement existe et f est dérivable en 0.

Bonsoir ! Je n'arrive pas à une question dans mon DM de maths.

Voila l'énoncé : On considère la fonction f définie sur [0;+[tex]\infty[/tex][ par : f(x)= [tex]e^{-\frac{1}{x}}[/tex], et f(0)=0; pour x>0. Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0.

J'ai essayé d'utiliser la formule : f est dérivable en 0 si lim (f(x)- f(0))/x-0 = f'(0), ce qui fait lim [tex]\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x}[/tex] quand x tend vers 0.

Mais la je bloque ... je ne sais pas comment montrer que f est dérivable, ni comment montrer sa dérivabilité.

Merci de me guider.