Bonjour,

Oui Bastien, il faut juste exprimer la fonction f.
Ce que tu as fait pour la question 2) est correct.

Bonne continuation.

1)c) Les solutions d'une équation différentielle de ce type sont [tex]f(x)=ce^{kx}[/tex], f(0)=1 donne la fonction [tex]f(x)=e^{kx}[/tex]. Faut simplement trouver les solutions et exprimer la fonction f ??

2)b) f'(x)=-sin(x)+icos(x) puis on calcules f'(0)=i.
c) D'après les résultats précédentes, k=f'(0) or f'(0)=i donc [tex]f(x)=e^{ix}[/tex].

Bonjour Bastien,

Au b) tu as démontré que [tex]f^{,}(x + t) = f^{,}(x)f(t)[/tex]. Applique cette égalité pour x=0 tu as alors la réponse à ta question. Pour déterminer l'expression de f, reprends ton cours. Tu as vu que les solutions d'une équation différentielle de ce type sont [tex]f(x)=ce^{kx}[/tex] f(0)=0 donne la fonction nulle et f(0)=1 donne la fonction [tex]f(x)=e^{kx}[/tex].

2)a) Ce que tu as fait est juste.
b) Tu pars du principe que i est une valeur numérique et tu appliques les formules de dérivation habituelles pour déterminer f'(x) puis tu calcules f'(0).
c) Pour répondre à cette question, il faut faire le lien entre la question 1) et celle-ci. Je te laisse réfléchir.

Bonne continuation.

Bonjour,
On sait que t est fixé donc f(t) est un nombre fixé indépendant de x, par conséquent le dérivé de g(x) est
[tex]g^{,}(x)=f^{,}(x+t)=(f(x)f(t))^{,}=f^{,}(x)f(t)[/tex]
c) Je ne comprends pas!
2)D'après les formules trigonométrique, cos(a + b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b) et sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
f(x+t)= cos(x+t)+isin(x+t)=cos(x)cos(t) – sin(x)sin(t) + isin(x)cos(t) + icos(x)sin(t)
= cos(x) (cos(t)+isin(t))+isin(x)(cos(t)+isin(t)) = (cos(x)+isin(x))(cos(t)+isin(t))=f(x)f(t)
Et pour la suite je ne comprends pas comment faire!

Bonsoir,

Il faut effectivement partir du fait que [tex]f(0)=f(0)\times f(0)[/tex], soit [tex]f(0)-f(0)f(0)=0[/tex]. La factorisation donne bien le résultat recherché.
Pour la question (b), il faut bien avoir à l'esprit que t est fixé donc f(t) est un nombre fixé indépendant de x. Lors de la dérivation, utilise les formules vues en classe, (f(t)f(x))'=f(t)f'(x) !

Bonne continuation.

Bonjour, j'ai un exercice que j'ai du mal à commencer, si quelqu'un aurait la gentillesse de m'aider, ce serait bien!
1. [Roc] Soit [i] f[/i] une fonction dérivable sur IR telle que [tex]f(x+t) = f(x)f(t)[/tex] pour tous [tex]x[/tex], [i]t ∈ R[/i].
(a) Montrer que [tex]f(0) = 1[/tex] ou [tex]f(0) = 0[/tex].
(b) Soit [i]t ∈ IR[/i] fixé et [i]g[/i] définie sur [i]IR[/i] par [tex]g(x) = f(x + y)[/tex]. Montrer que pour [i][tex]x[/tex] ∈ R[/i],
[tex]g^{,}(t) = f^{,}(x + t) = f^{,}(x)f(t)[/tex].
(c) En déduire [i]f[/i] vérifie l’équation différentielle [tex]f^{,} = k f[/tex] où[tex]k = f^{,}(0)[/tex], puis [tex]f[/tex].
2. Soit [tex]f[/tex] : [i]IR → C[/i], [tex]x[/tex] →[tex]cos(x) + isin(x)[/tex].
(a) Démontrer que pour tous [tex]x[/tex], [i]t ∈ IR[/i], [tex]f(x + t) = f(x)f(t)[/tex].
(b) En admettant que les règles de dérivation sont encore valables, calculer [tex]f^{,}(0)[/tex].
(c) Quelle notation faisant intevenir [tex]e[/tex] pourrait-on adopter pour [tex]f(x)[/tex] ?
3. On note [tex]e^{ix}= cos(x) + isin(x)[/tex]. En déduire la belle formule : [tex]e^{i\pi} + 1 = 0[/tex]

1)a) f(x)=f(x)f(0)
f(x)-f(x)f(0)=0
f(x)(1-f(0))=0
f(x)=0 (pour tout x) ou f(0)=1
Donc f(0)=0 ou f(0)=1
Pour la suite, je bloque!
Merci de votre aide, d'avance!