par Benoit » mar. 29 nov. 2011 21:31
Bonjour, j'ai un petit exercice que j'ai du mal à finir, si quelqu'un aurait l'amabilité de m'aidez!
Soit f la fonction définie par \(f(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}\), et C sa courbe.
1) Déterminer l'ensemble de définition de f.
2) Montrer que I(0;0,5) est centre de symétrie de C.
3) Calculer la limite de f en -\(\infty\) puis +\(\infty\)(par symétrie?)
4) Etudier les variations de f.
5) Déterminer l'équation de la T tangente en I à C.
6) Etudier les variations de \(g(x)= \frac{1}{4}x +\frac{1}{2}- f(x)\).
7) Calculer g(0) puis déterminer la position relative de T à C.
Voila ce que j'ai fait:
1)f(x) est définie pour tout x non nul, \(e^{x}+1=0\)<=> \(e^{x}=-1\) Or c'est impossible puisque la fonction exponentielle est toujours positif. Donc la fonction est définie sur IR
2) Je sais que je dois trouver \(\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2}= b\). Je bloque!
3)\(\frac{e^{x}}{e^{x}+1}\)=\(\frac{e^{x}}{e^{x}(e^{-x}+1)}\)=\(\frac{1}{e^{-x}+1}\)
\(\lim_{x \to +\infty} e^{-x}=0\) donc \(\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^{-x}+1}=1\) Donc \(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{x}}{e^{x}+1}=1\)
\(\lim_{x \to -\infty} \frac{e^{x}}{e^{x}+1}=0\)
4)La fonction f est dérivable sur IR comme quotient de fonctions dérivables sur IR
\(f^{,}=\frac{e^{x}(e^{x}+1)-e^{x}e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}=\frac{e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}} >0\) Puisque \(f^{,} > 0\) donc f(x) est croissante.
5) L'équation de la tangente T à la courbe au point d'abscisse 0, \(y=f^{,}(x-0)=f(0)=\frac{1}{4}x +\frac{1}{2}\)
Mais après je bloque!
Est-ce bon ce que j'ai fait?
Merci d'avance!
Bonjour, j'ai un petit exercice que j'ai du mal à finir, si quelqu'un aurait l'amabilité de m'aidez!
Soit [i]f[/i] la fonction définie par [tex]f(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}[/tex], et [i]C[/i] sa courbe.
1) Déterminer l'ensemble de définition de [i]f[/i].
2) Montrer que [i]I(0;0,5)[/i] est centre de symétrie de [i]C[/i].
3) Calculer la limite de [i]f[/i] en -[tex]\infty[/tex] puis +[tex]\infty[/tex](par symétrie?)
4) Etudier les variations de [i]f[/i].
5) Déterminer l'équation de la [i]T[/i] tangente en [i]I[/i] à [i] C[/i].
6) Etudier les variations de [tex]g(x)= \frac{1}{4}x +\frac{1}{2}- f(x)[/tex].
7) Calculer [i]g(0) [/i]puis déterminer la position relative de [i]T[/i] à [i]C[/i].
Voila ce que j'ai fait:
1)[i]f(x)[/i] est définie pour tout x non nul, [tex]e^{x}+1=0[/tex]<=> [tex]e^{x}=-1[/tex] Or c'est impossible puisque la fonction exponentielle est toujours positif. Donc la fonction est définie sur IR
2) Je sais que je dois trouver [tex]\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2}= b[/tex]. Je bloque!
3)[tex]\frac{e^{x}}{e^{x}+1}[/tex]=[tex]\frac{e^{x}}{e^{x}(e^{-x}+1)}[/tex]=[tex]\frac{1}{e^{-x}+1}[/tex]
[tex]\lim_{x \to +\infty} e^{-x}=0[/tex] donc [tex]\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^{-x}+1}=1[/tex] Donc [tex]\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{x}}{e^{x}+1}=1[/tex]
[tex]\lim_{x \to -\infty} \frac{e^{x}}{e^{x}+1}=0[/tex]
4)La fonction [i]f[/i] est dérivable sur IR comme quotient de fonctions dérivables sur IR
[tex]f^{,}=\frac{e^{x}(e^{x}+1)-e^{x}e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}=\frac{e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}} >0[/tex] Puisque [tex]f^{,} > 0[/tex] donc [i]f(x)[/i] est croissante.
5) L'équation de la tangente [i]T[/i] à la courbe au point d'abscisse 0, [tex]y=f^{,}(x-0)=f(0)=\frac{1}{4}x +\frac{1}{2}[/tex]
Mais après je bloque!
Est-ce bon ce que j'ai fait?
Merci d'avance!
