[color=#4080FF]Bonjour Maya,

D'après la question 4b), tu sais que [tex]v_3 \leq \frac{1}{2^{2 \times 3}}[/tex], et tu sais aussi que [tex]v_3=u_3-\sqrt{2}[/tex]. Tu as donc [tex]u_3-\sqrt{2}\leq \frac{1}{2^{2 \times 3}}[/tex] donc [tex]u_3 \leq ....[/tex].

Bon courage pour la suite.

SOS-math[/color]

Bonjour,
pour la majoration je ne vois pas!

Bonsoir,

Pour le 4c tu dois majorer [tex]u_3-\sqrt 2[/tex] c'est à dire [tex]v_3[/tex] tu peux donc utiliser la majoration du 4b.
Ensuite remarque que le majorant de l'écart est à chaque fois divisé par 4, car [tex]2^{2n}=4^n[/tex] tu peux donc en déduire la réponse au 4d.

Il y a de meilleures majorations, et je pense que dès [tex]n = 11[/tex] on a une précision avec 1000 décimales, ce que tu ne peux pas démontrer avec [tex]v_n<\frac{1}{4^n}[/tex], mais je peux me tromper.

Bon courage

Bonsoir,
C'est bon j'ai réussi à le faire, mais pour le 4c et 4d je bloque!

Bonsoir,

Tu as [tex]u_{n+1}=\frac{\frac{a}{u_n}+u_n}{2}[/tex], c'est la moyenne (arithmétique) de [tex]\frac{a}{u_n}[/tex] et de [tex]u_n[/tex], elle est supérieure à [tex]\sqrt{\frac{a}{u_n}\times{u_n}}[/tex] tu dois pouvoir en déduire l'encadrement de [tex]u_{n+1}[/tex] .

Bon courage

Bonjour,
Je ne comprends pas!

Bonsoir,

En premier tu dois savoir que pour a et b positifs : [tex]sqrt{A\times{B}}\leq\frac{A+B}{2}[/tex].
Applique cette propriété à [tex]\frac{a}{u_n}[/tex] et [tex]u_n[/tex] pour trouver que [tex]u_{n+1}\geq{sqrt{a}}[/tex].
Comme [tex]u_n \leq{a}[/tex] tu en déduis directement que [tex]u_{n+1}\leq{a}[/tex].

Ensuite calcule [tex]u_{n+1}-u_n[/tex] et vérifie que cette différence est négative pour obtenir la décroissance de la suite.

La suite est décroissante et minorée par 1 ou par [tex]sqrt{a}[/tex] déduis-en la convergence. Ensuite pense que [tex]u_n[/tex] et [tex]u_{n+1}[/tex] ont la même limite [tex]l[/tex] et déduis-en l'égalité, résout alors l'équation du second degré obtenue pour conclure.

Bon courage

Désolé
Soit a [tex]\geq[/tex] 1 un nombre réel. Soit ([tex]u_{n}[/tex]), n [tex]\in[/tex] N la suite définie par [tex]u_{0}[/tex] = a et [tex]u_{n+1}[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex]([tex]\frac{a}{u_{n}}[/tex]+[tex]u_{n}[/tex])

bonsoir,

Je n'arrive pas à lire ton message, il y a des symboles qui ne doivent pas s'afficher : Soit [tex]a \geq 1[/tex] un nombre réel. Soit [tex](un)n\in N[/tex]la suite définie par [tex]u0 = a[/tex]et [tex]un+1 =\frac{1}{2}( \frac{a}{un} + un[/tex]).

Peux-tu préciser l'énoncé, merci.

Bonjour, j'ai vraiment besoin d'aide, je viens juste d'apprendre que j'ai un exercice à faire pour vendredi! Si quelqu'un aurait l'amabilité de m'aider, ce serait gentil! Je ne comprends pas le chapitre des suites!

Soit a [tex]\geq[/tex] 1 un nombre réel. Soit (un)n[tex]\in[/tex]N la suite définie par u0 = a et un+1 =[tex]\frac{1}{2}[/tex]( [tex]\frac{a}{un}[/tex] + un).
1. Montrer que pour tout n [tex]\in[/tex] N, un [tex]\in[/tex] [[tex]\sqrt{a}[/tex], a].
2. Montrer que la suite (un) est décroissante. Qu’en déduire ?
3. Montrer que la limite ℓ de (un) vérifie ℓ = [tex]\frac{1}{2}[/tex]( [tex]\frac{a}{ l }[/tex] +ℓ ). En déduire ℓ.
4. Vitesse de convergence.
Soit (vn) la suite définie par vn = un − [tex]\sqrt{a}[/tex]. (vn mesure l’écart entre un et [tex]\sqrt{a}[/tex]).
Dans cette partie, on suppose que a = 2.
(a) Montrer que vn+1 = [tex]\frac{vn^{2}}{2un}[/tex] pour tout n [tex]\in[/tex] N.
(b) Prouver par récurrence que vn [tex]\leq[/tex] [tex]\frac{1}{2^{2n} }[/tex] pour tout n [tex]\in[/tex] N
(c) Majorer l’écart entre [tex]u_{3}[/tex] et [tex]\sqrt{2}[/tex] par une puissance de 10.
(d) A partir de quel n peut-on dire que [tex]u_{n}[/tex] approche [tex]\sqrt{2}[/tex] avec au moins 1000 décimales
exactes ? (vn < [tex]10^{-1000}[/tex])

Merci d'avance!