par Vince » mer. 26 oct. 2011 21:12
J'ai un exercice de mathématiques à faire pendant les vacances en devoir maison ! J'attend une aide quelconque de votre part pour le résoudre, merci d'avance !
Enoncé :
Soit f une fonction continue sur [0;1] telle que f(0)=f(1). On appelle corde horizontale tout segment joignant deux points de même ordonnée de la courbe représentative de f. L'objectif de l'exercice est de prouver que pour tout entier naturel n non nul, il existe une corde de longueur 1/n.
1° Montrer que la proposition est vraie si n = 1.
2° Dans cette question, n est supposé supérieur ou égal à 2 et on suppose que la proposition est fausse. On considère la fonction g définie sur [0;1 - 1/n] par g(x) = f(x + 1/n) - f(x).
a. Justifier la continuité de g.
b. Montrer que g ne s'annule pas sur [0;1 - 1/n].
c. En déduire que f(0)=/= f(1) et conclure.
3° On veut démontrer que le résultat précédent n'est pas valable si on remplace 1/n par un réel quelconque de ]0;1[ ne s'écrivant pas sous la forme 1/n.
Soit a ]0;1[, a=/=1/n, n E N*, et h la fonction définie sur [0;1] par :
h(x)= cos( 2Pix/a )-[cos( 2Pi/a) - 1]x
a. Montrer que h est continue sur [0;1] vérifiant la relation h(0)=h(1)
b. Montrer que la courbe représentative de h ne possède pas de corde de longueur a.
Proposition personnelle :
1° On sait que f(0)=f(1), donc deux points d'abscisses distantes de 1 ont même ordonnée (1-0=1). Or pour n=1, la longueur L de la corde est 1/n = 1/1 = 1. Cette proposition se vérifie pour n = 1.
2°
a. g est une fonction continue car composée et différence de fonctions continues. On notera de plus une correspondance dans les intervalles de définition.
b.Puisque l'on considère la proposition de départ fausse, on a forcément f(x+1/n)=/= f(x) donc f(x+1/n) - f(x)=/=0 et donc forcément g(x)=/=0.
c.On a bien x + 1/n > x et f(x + 1/n) > f(x) donc d'après les propriétés de variation d'une fonction, f est croissante ! Ensuite si f est strictement croissante et continue, l'équation f(x)=k n'a qu'une seule solution d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires et il est donc impossible que x = 0 ait même ordonnée que x = 1 par f et donc f(0)=/= f(1)
3°
a. h est continue car composées de fonctions continues et h(0)=h(1)=1 car :
h(0)= cos(0) = 1
h(1)= -(-1)= 1
b. Je crois qu'il faut définir un fonction k(x) = h(x+a) - h(x) en s'inspirant d'au-dessus mais après que faire ?
J'ai un exercice de mathématiques à faire pendant les vacances en devoir maison ! J'attend une aide quelconque de votre part pour le résoudre, merci d'avance !
Enoncé :
Soit f une fonction continue sur [0;1] telle que f(0)=f(1). On appelle corde horizontale tout segment joignant deux points de même ordonnée de la courbe représentative de f. L'objectif de l'exercice est de prouver que pour tout entier naturel n non nul, il existe une corde de longueur 1/n.
1° Montrer que la proposition est vraie si n = 1.
2° Dans cette question, n est supposé supérieur ou égal à 2 et on suppose que la proposition est fausse. On considère la fonction g définie sur [0;1 - 1/n] par g(x) = f(x + 1/n) - f(x).
a. Justifier la continuité de g.
b. Montrer que g ne s'annule pas sur [0;1 - 1/n].
c. En déduire que f(0)=/= f(1) et conclure.
3° On veut démontrer que le résultat précédent n'est pas valable si on remplace 1/n par un réel quelconque de ]0;1[ ne s'écrivant pas sous la forme 1/n.
Soit a ]0;1[, a=/=1/n, n E N*, et h la fonction définie sur [0;1] par :
h(x)= cos( 2Pix/a )-[cos( 2Pi/a) - 1]x
a. Montrer que h est continue sur [0;1] vérifiant la relation h(0)=h(1)
b. Montrer que la courbe représentative de h ne possède pas de corde de longueur a.
Proposition personnelle :
1° On sait que f(0)=f(1), donc deux points d'abscisses distantes de 1 ont même ordonnée (1-0=1). Or pour n=1, la longueur L de la corde est 1/n = 1/1 = 1. Cette proposition se vérifie pour n = 1.
2°
a. g est une fonction continue car composée et différence de fonctions continues. On notera de plus une correspondance dans les intervalles de définition.
b.Puisque l'on considère la proposition de départ fausse, on a forcément f(x+1/n)=/= f(x) donc f(x+1/n) - f(x)=/=0 et donc forcément g(x)=/=0.
c.On a bien x + 1/n > x et f(x + 1/n) > f(x) donc d'après les propriétés de variation d'une fonction, f est croissante ! Ensuite si f est strictement croissante et continue, l'équation f(x)=k n'a qu'une seule solution d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires et il est donc impossible que x = 0 ait même ordonnée que x = 1 par f et donc f(0)=/= f(1)
3°
a. h est continue car composées de fonctions continues et h(0)=h(1)=1 car :
h(0)= cos(0) = 1
h(1)= -(-1)= 1
b. Je crois qu'il faut définir un fonction k(x) = h(x+a) - h(x) en s'inspirant d'au-dessus mais après que faire ?
