par sos-math(21) » dim. 23 oct. 2011 20:14
Bonsoir,
je donne un exemple classique avec le sinus : on veut calculer par exemple la limite suivante : \(\lim_{x\to\,0}\frac{\sin(x)}{x}\), on a bien une forme indéterminée du type 0/0.
Il faut ensuite regarder ce quotient différemment : si on considère que sin(0)=0, on peut écrire : \(\frac{\sin(x)}{x}=\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}\) et là on a formé un taux d'accroissement de la fonction sinus au voisinage de 0. La limite de ce taux d'accroissement n'est autre que le nombre dérivé de la fonction sinus en 0.
Or cette fonction est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et elle vaut \((\sin(x))^{\prime}=\cos(x)\) donc \(\lim_{x\to\,0}\frac{\sin(x)}{x}=(\sin(x))^{\prime}(0)=\cos(0)=1\).
Voilà un exemple d'utilisation de la dérivée pour lever une forme indéterminée...
Bonsoir,
je donne un exemple classique avec le sinus : on veut calculer par exemple la limite suivante : [tex]\lim_{x\to\,0}\frac{\sin(x)}{x}[/tex], on a bien une forme indéterminée du type 0/0.
Il faut ensuite regarder ce quotient différemment : si on considère que sin(0)=0, on peut écrire : [tex]\frac{\sin(x)}{x}=\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}[/tex] et là on a formé un taux d'accroissement de la fonction sinus au voisinage de 0. La limite de ce taux d'accroissement n'est autre que le nombre dérivé de la fonction sinus en 0.
Or cette fonction est dérivable sur [tex]\mathbb{R}[/tex] et elle vaut [tex](\sin(x))^{\prime}=\cos(x)[/tex] donc [tex]\lim_{x\to\,0}\frac{\sin(x)}{x}=(\sin(x))^{\prime}(0)=\cos(0)=1[/tex].
Voilà un exemple d'utilisation de la dérivée pour lever une forme indéterminée...
