Bonjour,

Le collègue utilise le fait que - $\int_a^{b}f(x)dx$ = + $\int_b^{a}f(x)dx$, avec les bornes a = 1 et b = n.

Ce qui permet ensuite d'utiliser la relation de Chasles pour $\int_n^{1}lnxdx$ + $\int_1^{n+1}lnxdx$ pour obtenir $\int_n^{n + 1}lnxdx$.

Est ce désormais plus clair pour toi?

Sos math.

Bonjour, merci mais je ne comprends pas pourquoi vous "inversez" les bornes pour transformer le + en -, et je ne comprends pas non plus le résultat final, désolé...

Bonjour,
La linéarité de l'intégrale stipule que l'on peut "partager" l'intervalle d'intégration en plusieurs sous intervalles.
Si $f$ est continue sur $[a\,;\,b]$ alors pour tout réel $c\in]a\,;\,b[$ $\displaystyle\int_a^b f(x)\text{d}x=\int_{a}^{c}f(x)\text{d}x+\int_{c}^{b}f(x)\text{d}x$
Ainsi $\displaystyle v_{n+1}-v_n=\int_{1}^{n+1}\ln(x)\text{d}x-\int_{1}^{n}\ln(x)\text{d}x=\int_{1}^{n+1}\ln(x)\text{d}x+\int_{n}^{1}\ln(x)\text{d}x=\int_{n}^{n+1}\ln(x)\text{d}x$ (relation de Chasles)
Comme $ln(x)>0$ sur l'intervalle $[n\,;\,n+1]$, alors par positivité de l'intégrale, on a $\displaystyle \int_{n}^{n+1}\ln(x)\text{d}x\geqslant 0$.
La différence $v_{n+1}-v_n$ est donc positive ce qui prouve que la suite est croissante.
Bonne continuation

Ok merci beaucoup j'ai compris
et juste pour la derniere question du dernier exercice, je n'ai pas compris comment il transforme v(n+1) - v(n) avec la linéarité de l'intégrale...

Bonjour,
Selon la définition (large ou stricte), on peut considérer qu’une suite constante est un cas particulier de suite décroissante car elle vérifie pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}\leqslant u_n$ (définition d’une suite décroissante).
Bonne continuation

Ok merci mais en fait je vous pose cette question par rapport à la question 1 de l'exercice 4 de : https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Spe_Asie_J ... 024_DV.pdf
Ils disent dans le corrigé que "La suite constante égale à 1 est décroissante et minorée par 0 (entre autres), et pourtant, elle converge vers 1, et pas vers 0."
C'est pour ca que je vous demande ca...

Bonjour,
Dans ce cas particulier, c’est une suite constante.
Bonne continuation

Merci pour la réponse, donc la suite u(n) = 5, est elle décroissante ou croissante par exemple ? merci

Bonjour,
Une suite monotone est une suite qui a un unique sens de variation sur $\mathbb{N}$ : elle est ou bien décroissante ou bien croissante sur $\mathbb{N}$.
Bonne continuation

Bonjour, est ce que toute suite monotone est à la fois décroissante et croissante ? merci