Bonjour,
si tu supposes que $a$ et $n$ sont tous les deux supérieurs ou égaux à 2, alors $a^n-1>1$ et on a aussi $1+a+\ldots a^{n-1}>1$.
Si $a^n-1$ est premier, cela signifie qu'il admet pour seuls diviseurs $1$ et lui-même.
Donc si on a une décomposition pour $a^n-1$ de la forme $a^n-1=p\times q$, alors soit $p=1$ et $q=a^n-1$, soit $p=a^n-1$ et $q=1$.
Ainsi la décomposition $a^n-1=(a-1)\left(a^{n-1}+\ldots+a^2+a+1\right)$ mène à $a-1=a^n-1$ ou bien $a-1=1$ d'après ce qu'on a dit précédemment.
L'égalité $a-1=a^n-1$ menant à $a=a^n$, qui est fausse dès que $a\geqslant 2$ et $n\geqslant 2$, on a nécessairement $a-1=1$ donc $a=2$.
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation

Bonjour à tous j'envoi ce message car je n'ai pas compris une [color=#4040FF]partie du corrigé[/color], si quelqu'un pouvait éclaircir ce la pour moi svp?

Exo:
NOMBRES DE MERSENNE

a. Soit [TeX]a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}^*[/TeX].
Montrer que :
$$a^n-1=(a-1) \times\left(a^{n-1}+\ldots+a+1\right) \text {. }$$
b. Soit n et a deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2 .
Démontrer que si [TeX]a^n-1[/TeX] est premier, alors [TeX]a=2[/TeX] et [TeX]n[/TeX] est premier.
c. On appelle nombre de Mersenne, tout nombre de la forme [TeX]2^p-1[/TeX] avec p premier, on le note M_p
Les nombres [TeX]M_2, M_3, M_5, M_7, M_{11}[/TeX] sont-ils premiers?

Corrigé
1a) On reconnait la suite géométrique de raison a.
a^n-1 =(a-1)(a^n-1 + ....+a+1)

b. Soit [TeX]a \in \mathbb{N}, a \geqslant 2 \: et \: n \in \mathbb{N}, n \geqslant 2. On a :a-1 \geqslant 1[/TeX]. Or :

[TeX]a^n-1=(a-1)\left(a^{n-1}+\ldots+a^2+a+1\right) \text { et } 1+a+a^2+\ldots+a^{n-1}>1[/TeX]

[color=#4040FF]Donc si $a^n-1$ est premier, a-1=1, donc a=2.(je j'ai pas compris comment on est passé de l'inégalité à l'égalité a=2)

[/color]
a-1>=1 au a=2 , on a a^n-1>1 ok mais ce n'est pas non plus une égalité