Reprends le fil depuis le début et réfléchis au sens de la notation $\sum_{}^{}$.
J'ai déjà détaillé le passage de $n$ à $n+1$.
Bonne continuation

sos-math(21) a écrit : ↑

mar. 19 sept. 2023 20:22

(\sum_{k=1}^{n}k\times k!)+(n+1)\times (n+1)!+1

je ne comprends pas ce à quoi correspond tout ca en fait

Là encore, c'est la définition même d'une somme :
quand tu fais la somme des termes jusqu'au rang $n+1$, c'est comme si tu faisais la somme des termes jusqu'au rang $n$ à laquelle on rajoute le terme de rang $n+1$. Pour une suite $(u_n)$ :
$\sum_{k=1}^{n+1} u_k=\sum_{k=1}^n u_k+u_{n+1}$
En effet,
$\sum_{k=1}^{n+1} u_k=\underbrace{u_1+u_2+\ldots+u_n}_{\mathrm{somme\, des\,} n\,\mathrm{premiers\,termes}} +u_{n+1}=\sum_{k=1}^n u_k+u_{n+1}$.
Bonne continuation

sos-math(21) a écrit : ↑

mar. 19 sept. 2023 20:22

On a donc \((\sum_{k=1}^{n+1}k\times k!) + 1=(\sum_{k=1}^{n}k\times k!)+(n+1)\times (n+1)!+1

en fait j'ai vraiment du mal à comprendre comment on passe de ca à ca... merci beaucoup

Oui, tu as raison, je suis allé un peu vite : je corrige mon message.
Bonne continuation

Mais ce n'est pas égal à(n+1)! plutot ? merci

Bonjour,
j'ai utilisé la propriété $\mathcal{P}_n$ qu'on suppose vraie au rang $n$ : $(\sum_{k=1}^{n}k\times k!)+1=(n+1)!$.
Bonne continuation

sos-math(21) a écrit : ↑

mar. 19 sept. 2023 20:22

On a donc $(\sum_{k=1}^{n+1}k\times k!) + 1=(\sum_{k=1}^{n}k\times k!)+(n+1)\times (n+1)!+1=\underbrace{(\sum_{k=1}^{n}k\times k!)+1}_{=(n+1)! \, (\mathcal{P}_n)}+(n+1)\times (n+1)!$

Oui merci c'est bon pour ca, et juste pour ce que j'ai mis entre guillemets je ne comprends pas trop comment vous êtes arrivés à ca désolé...

Bonjour,
c'est la définition même de la factorielle :
On a $1\times 2\times 3\times 4\times 5=5!$
Donc si on rajoute le facteur $6$, on a $\underbrace{1\times 2\times 3\times 4\times 5}_{5!}\times 6=6!$
Donc $5!\times 6=6!$, $6!\times 7=7!$, ...., $n!\times (n+1)=(n+1)!$ et $(n+1)!\times (n+2)=(n+2)!$.
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation

Merci j'ai pu finir, par contre je n'ai pas compris pourqoui (n+1)! est égal à (n+1)*n! et aussi pourquoi (n+1)!(n+2) = (n+2)!

Merci beaucoup vous m'aidez énormément

Bonjour,
oui c'est cela et par définition de la factorielle, on a $(n+2)\times (n+1)!=(n+2)!$ donc cela prouve bien que $\mathcal{P}_{n+1}$ est vraie.
Il reste à conclure par le principe de récurrence.
Bonne continuation

Merci beaucoup ! Juste P(n+1) c'est bien = à (n+1)! (2+n) ?

Bonjour,
tu peux procéder par récurrence sur $n\in\mathbb{N}^*$ pour prouver la propriété $\mathcal{P}_n\,\, : (\sum_{k=1}^{n}k\times k!) + 1=(n+1)!$.
Initialisation au rang $n=1$ : je te laisse faire pour prouver que $\mathcal{P}_1$ est vraie.
Hérédité : on suppose que, pour un entier naturel $n\geqslant 1$, $\mathcal{P}_n$ est vraie et on va montrer que $\mathcal{P}_{n+1}$ est vraie.
On part de la somme au rang $n+1$ : cela revient à rajouter le terme de rang $n+1$ à la somme jusqu'au rang $n$ :
On a donc $(\sum_{k=1}^{n+1}k\times k!) + 1=(\sum_{k=1}^{n}k\times k!)+(n+1)\times (n+1)!+1=\underbrace{(\sum_{k=1}^{n}k\times k!)+1}_{=(n+1)! \, (\mathcal{P}_n)}+(n+1)\times (n+1)!$
On a donc : $(\sum_{k=1}^{n+1}k\times k!) + 1=(n+1)!+(n+1)\times (n+1)!$
Il te reste à factoriser par $(n+1)!$ pour prouver $\mathcal{P}_{n+1}$.
Je te laisse terminer.
Bonne continuation

SVP c'est pour demain...

Bonjour,
j'ai cet exercice à faire :

On définit pour tout entier naturel non n nul, factorielle n, noté n! comme étant le produit de tous les entiers strictement positifs inférieurs à n.

Il faut montrer par réccurrence que pour tout n appartient à N étoile,
"symbole somme avec n au dessus et k = 1 en dessous" k * k! + 1 = (n+1)!

en sachant que (n+1)! = (n+1)* n (je n'ai pas compris ca non plus d'ailleurs)...

J'ai fais l'initialisation mais apres je suis bloqué...

MERCI