Bonjour,
Bon courage pour cet exercice qui me semble assez ardu : si tu as une solution par ton professeur je serais intéressé de la connaître, n’hésite pas à nous la transmettre.
Bonne continuation

Bonjour, ok merci beaucoup pour la correction et l'explication ainsi que la piste proposée.
Merci

Bonjour,
ton raisonnement n'est pas correct : une fonction qui vérifie une inéquation fonctionnelle ne sera pas forcément majorée par les fonctions linéaires (d'ailleurs lesquelles ?).
Par exemple, la fonction racine carrée vérifie les conditions de ton exercice : elle est continue sur \(\mathbb{R}_+\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}_+\) et elle vérifie pour tous réels \(x\) et \(y\) positifs \(\sqrt{x+y}\leqslant \sqrt{x}+\sqrt{y}\). Or la courbe de la fonction racine carrée n'est pas "en-dessous des droites représentant les fonctions linéaires.
Peut-être que la propriété de continuité est à chercher dans une borne supérieure d'ensemble : par exemple pour \(0<x<y\) fixés et en notant :
\(A=\left\lbrace t\in[x\,;\,y], \dfrac{f(t)}{t}\geqslant \dfrac{f(y)}{y}\right\rbrace\), montrer que \(A\) est un ensemble non vide et minoré et qu'il admet une borne inférieure et que celle-ci est égale à \(x\), ce qui prouverait la décroissance de \(g(x)=\dfrac{f(x)}{x}\)
Je te donne cette piste mais je n'ai aucune idée sur sa validité.
Bonne continuation

Bonjour,
[quote=sos-math(21) post_id=109641 time=1667425569 user_id=165]

J’aurais bien vu « convexe » à la place de continue , ce qui permet effectivement de montrer que la fonction [TeX]g\,:\,x\longmapsto \dfrac{f(x)}{x}[/TeX] est décroissante, ce qui assure l’existence d’une limite.
Bonne continuation
[/quote]mais si elle n'est pas continue on ne peut pas passer "facilement" à la limite n'est ce pas ?
[quote=sos-math(21) post_id=109659 time=1667483707 user_id=165]
dans quel chapitre es-tu ? Peux tu m'envoyer l'énoncé exact ou la fiche d'exercices entière afin que je fasse éventuellement le lien avec autre chose.
[/quote] Il n'y a pas de données supplémentaires pour cet exercice et je suppose qu'il est en lien avec les limites par définition (avec epsilon),..., intervalle compact,..max, min et sup, inf....ect

J'aimerai bien avoir votre avis sur cette preuve que j'ai eu l'idée d'utiliser la signification graphique de la limite demandée

* D'abord sachant l'équation fonctionnelle de Cauchy qui est f(x+y)=f(x)+f(y) dont les solutions ne sont autre que la fonction linéaire f(x)=ax
* [color=#FF0000]l'inégalité donnée dans l'exercice montre que les courbes des fonction f(x) qui vérifient cette inégalité se situent forcément en dessous de la droite (y=ax)[/color] [color=#FF0000]....[color=#FF0000].....[/color](1)[/color]
* Donc on aura 2 cas :
/ soit [TeX]\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left(x \right)=k\in R_{+}[/TeX] tq k est un nombre fini et dans ce cas c'est clair que [TeX]\lim_{x\rightarrow+ \infty }\frac{f\left(x \right)}{x}[/TeX] existe.
/ ou soit [TeX]\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left(x \right)=+\infty [/TeX] ( [TeX]\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left(x \right)\neq -\infty [/TeX] puisque [TeX]f\left(x \right)\in R_{+}[/TeX] )
et dans ce cas là si on étudie les branches infinies de la courbe [TeX]\left(C_{f} \right)[/TeX] on est sensé de calculer [TeX]\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f\left(x \right)}{x}[/TeX] or d'après la remarque [color=#FF0000](1)[/color] [TeX]\left(C_{f} \right)[/TeX] ne traverse jamais la droite (y=ax) donc [TeX]\left(C_{f} \right)[/TeX] n'admet jamais une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées (Oy) d'où [TeX]\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f\left(x \right)}{x }\neq +\infty [/TeX] et par conséquent [TeX]\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f\left(x \right)}{x }[/TeX] existe et est égale forcément à un nombre fini.

Que pensez vous de cette preuve ? MERCI

Bonjour,
dans quel chapitre es-tu ? Peux tu m'envoyer l'énoncé exact ou la fiche d'exercices entière afin que je fasse éventuellement le lien avec autre chose.
As-tu essayé de contacter ton professeur pour avoir un indice ? C'est loin d'être évident et je ne suis même pas sûr que les hypothèses soient les bonnes.
Bonne continuation

Salut et merci pour la réponse
Oui juste continue, c'est vrai que l'inégalité ressemble à l'inégalité de convexité et j'ai essayé cette piste mais je crois sue ça mène à rien

Bonjour,
Es tu sur de ton énoncé et de l’hypothèse « continue » ?
J’aurais bien vu « convexe » à la place de continue , ce qui permet effectivement de montrer que la fonction [TeX]g\,:\,x\longmapsto \dfrac{f(x)}{x}[/TeX] est décroissante, ce qui assure l’existence d’une limite.
Bonne continuation

Bonjour, SVP auriez vous une idée pour cet exercice (de niveau superieur)
Soit f: R₊ → R₊ une fonction continue tel que:
∀(x;y)∈ R*₊ × R*₊ : f(x+y)≤f(x)+f(y)
Montrer que la limite en +∞ de f(x)/x existe

Peut etre que je dois montrer que la fonction f(x)/x est décroissante mais je n'ai pas pu le faire
MERCI