par sos-math(21) » dim. 16 oct. 2022 08:02
Bonjour,
l'équation différentielle \(y'=ay+b\) a pour solution générale \(y(t)=C\text{e}^{at}-\dfrac{b}{a}\)
donc ici, tes solutions seraient \(y(t)=C\text{e}^{-t}+1\) où \(C\) est déterminé en fonction d'une condition initiale.
Avec \(y(0)=y_0\), on a \(C=y_0-1\) et on a bien \(y(t)=(y_0-1)\text{e}^{-t}+1\)
il s'agit de remplacer \(y_0\) dans ton expression solution à chaque fois :
\(y_0=0\) : tu as \(y(t)=-\text{e}^{-t}+1\). Pour avoir une idée de ce tracé qualitatif, il faut partir de la courbe de la fonction exponentielle.
Avec le \(-t\), cela te donne une symétrie axiale d'axe \(Oy\), puis le \(-\) devant \(\text{e}^{-t}\) te donne une symétrie axiale d'axe \(Ox\), puis le rajout de la constante 1 te donne une translation verticale d'une unité vers le haut : cela te donne bien la courbe du bas.
Pour \(y_0=1\), la courbe est constante égale à 1, c'est la droite horizontale.
Pour \(y_0=2\), tu as \(y(t)=\text{e}^{-t}+1\) : tu pars de l'exponentielle, tu fais une symétrie axiale d'axe \(Oy\), puis tu translates verticalement d'une unité vers le haut.
Bonne continuation
Bonjour,
l'équation différentielle \(y'=ay+b\) a pour solution générale \(y(t)=C\text{e}^{at}-\dfrac{b}{a}\)
donc ici, tes solutions seraient \(y(t)=C\text{e}^{-t}+1\) où \(C\) est déterminé en fonction d'une condition initiale.
Avec \(y(0)=y_0\), on a \(C=y_0-1\) et on a bien \(y(t)=(y_0-1)\text{e}^{-t}+1\)
il s'agit de remplacer \(y_0\) dans ton expression solution à chaque fois :
\(y_0=0\) : tu as \(y(t)=-\text{e}^{-t}+1\). Pour avoir une idée de ce tracé qualitatif, il faut partir de la courbe de la fonction exponentielle.
Avec le \(-t\), cela te donne une symétrie axiale d'axe \(Oy\), puis le \(-\) devant \(\text{e}^{-t}\) te donne une symétrie axiale d'axe \(Ox\), puis le rajout de la constante 1 te donne une translation verticale d'une unité vers le haut : cela te donne bien la courbe du bas.
Pour \(y_0=1\), la courbe est constante égale à 1, c'est la droite horizontale.
Pour \(y_0=2\), tu as \(y(t)=\text{e}^{-t}+1\) : tu pars de l'exponentielle, tu fais une symétrie axiale d'axe \(Oy\), puis tu translates verticalement d'une unité vers le haut.
Bonne continuation
