par sos-math(21) » ven. 7 oct. 2022 06:47
Bonjour,
J’imagine que tu recherches des coefficients \(a \) et \(b\) tels que :
\(\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{a}{k}+\dfrac{b}{k+1}\)
Cette relation doit être vraie pour tout entier \(k\) donc il suffit de l’écrire pour des valeurs particulières de \(k\) :
\(k=1\) donne \(\dfrac{1}{2}=a+\dfrac{b}{2}\)
Soit \(2a+b=1\) en multipliant tout par \(2\).
Ensuite avec \(k=2\), on a \(\dfrac{1}{6}=\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{3}\) soit \(3a+2b=1\) en multipliant tout par 6
En soustrayant ces deux équations on a \(a+b=0\) donc \(a =-b\)
Si on réinjecte cette expression de \(a \) dans la première équation,
On obtient \(-2b+b=1\) soit \(b=-1\)
On a donc bien \(a=1\) et \(b=-1\)
Bonne continuation
Bonjour,
J’imagine que tu recherches des coefficients [TeX]a [/TeX] et [TeX]b[/TeX] tels que :
[TeX]\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{a}{k}+\dfrac{b}{k+1}[/TeX]
Cette relation doit être vraie pour tout entier [TeX]k[/TeX] donc il suffit de l’écrire pour des valeurs particulières de [TeX]k[/TeX] :
[TeX]k=1[/TeX] donne [TeX]\dfrac{1}{2}=a+\dfrac{b}{2}[/TeX]
Soit [TeX]2a+b=1[/TeX] en multipliant tout par [TeX]2[/TeX].
Ensuite avec [TeX]k=2[/TeX], on a [TeX]\dfrac{1}{6}=\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{3}[/TeX] soit [TeX]3a+2b=1[/TeX] en multipliant tout par 6
En soustrayant ces deux équations on a [TeX]a+b=0[/TeX] donc [TeX]a =-b[/TeX]
Si on réinjecte cette expression de [TeX]a [/TeX] dans la première équation,
On obtient [TeX]-2b+b=1[/TeX] soit [TeX]b=-1[/TeX]
On a donc bien [TeX]a=1[/TeX] et [TeX]b=-1[/TeX]
Bonne continuation