Bonne continuation
A bientôt sur le forum
SoS-math

Bonjour,
Ah oui j'ai oublié ce point fixe et qui représente la limite du (Un) quand elle est convergente.
Merci infiniment pour vos précieuses explication
A bientôt

C'est une confusion courante.

Il ne faut pas confondre la suite de termes (U_n) et la fonction f.

Regarde l'image présentant la construction terme à terme de la suite (U_n), cela ressemble à ton cas :

[attachment=0]index.png[/attachment]

On observe que les termes vont être bloqués par le point fixe de f (f(x)=x)

En fait, Pour tout x \in [0;5], 1<=f(x)<=5 donc chaque terme de (U_n) est contenu dans [1;5] (à ne pas confondre avec f(x) pour x \in [0;+\infty[

A bientôt

Bonjour,
Ok merci, jai encore une question SVP, bien que je peux facilement montrer dans une question précédente que 1<Un<5 et cela par récurrence mais je me demande comment cela est possible puisque la suite (Un) a l'aire de croître vers +∞, d'ailleurs la limite de la fonction f en +∞ égale à +∞. Quelque chose m'échappe peut-être ?
Merci

Pour la fin, on remplace x par u_n, ainsi f(u_n) = u_{n+1}.

Pour le théorème des accroissements finis, il faut que tu regardes des exemples sur le web, c'est plutôt simple à comprendre :

Pour f une fonction dérivable sur I = [a;b] et f ' sa dérivée sur ]a;b[.

Il existe un réel c \in ]a;b[ tel que :

f(b)-f(a) = f '(c)(b-a)

En appliquant ce théorème sur [x;5] avec x \in ]1;5[ puis en utilisant un majorant de f ' sur ]1;5[ (donc sur ]x;5[) on doit obtenir le résultat. (Inégalité des accroissements finis)

Le majorant doit être 4/5 ou 4/6, dans les deux cas cela convient.

Bon courage

Bonjour,
* Oui je connais le théorème des accroissements finis, j'aimerais bien si possible me montrer comment l'utiliser ici.
* D'accord merci beaucoup j'ai compris votre explication donc pour terminer je dois juste remplacer f(x) par Un, c'est ça?
Merci

Bonjour,

Pour cette question, l'inégalité des accroissements finis peut être utile mais avez-vous vu ce théorème ?

Sinon, il y a peut-être plus simple mais :

J'essayerai de démontrer ceci (qui revient au même... à expliquer) :

Pour tout [TeX]x \in ]1;5[[/TeX] :

[TeX]5-f(x) < \dfrac{4}{5}(5-x)[/TeX]

Pour démontrer cela, on isole f(x) (je te laisse faire) on obtient :

[TeX]\Leftrightarrow \quad 1+\dfrac{4x}{5} < f(x)[/TeX]

Les deux quantités étant positives et la fonction carrée étant croissante sur ]0;+\infty[, on obtient :

[TeX]\Leftrightarrow \quad (1+\dfrac{4x}{5})^2 < 4x+5[/TeX]

Pour résumer, démontrer : [TeX]5-f(x) < \dfrac{4}{5}(5-x)[/TeX] pour tout [TeX]x \in ]1;5[[/TeX] revient à démontrer [TeX](1+\dfrac{4x}{5})^2 < 4x+5[/TeX] pour tout [TeX]x \in ]1;5[[/TeX]

Ensuite, il s'agit d'une inéquation du second degré donc en ramenant la comparaison à 0 puis en développant on doit pouvoir s'en sortir.

Bon courage

Bonjour,
SVP je n'arrive pas à résoudre la dernière question de cet exercice :
Soit f une fonction définie sur ]o;+∞[ tel que f(x) = sqrt(4x+5)
* On a montré que f est strictement croissante
* Soit la suite (Un) tel que Uo = 2 et Un+1 = sqrt(4Un + 5) (n+1 est un indice)
* On a montré que pour tout entier naturel n on a
1< Un < 5
* On a montré que (Un) est strictement croissante, puis on a conclu sue (Un) est convergente
* Montrer que pour tout n on a :
5 - Un+1 < (4/5)×(5 - Un)
J'ai essayé entre autres méthodes la récurrence mais je ne parviens pas.
MERCI