Devoir maison

par **sos-math(21)** » jeu. 24 févr. 2022 14:23

Bonne rédaction et à bientôt sur sos-math.

par **Hervé** » jeu. 24 févr. 2022 14:22

Merci beaucoup pour votre aide.

par **sos-math(21)** » jeu. 24 févr. 2022 14:00

Bonjour,
oui la limite de

$k$ en

$+\infty$ est bien

$+\infty$ .
Bonne continuation

par **Hervé** » jeu. 24 févr. 2022 12:51

D'accord merci beaucoup, pour la d la limite en + l'infini est + l'infini ?

par **SoS-Math(9)** » jeu. 24 févr. 2022 12:32

Bonjour Hervé,

Tes résultats sont justes pour h(x).
Par contre pour k, pour le développement, tu as commis une erreur :

$(ln(x))^2 \neq 2ln(x)$ tu confonds avec la propriété :

$ln(x^2) = 2ln(x)$
La limite de k(x) en 0 est - oo car :

$\lim_{x \to 0} ln(x)=-\infty$ donc par passage au carré

$\lim_{x \to 0} (ln(x))^2=+\infty$
De plus

$\lim_{x \to 0} 4x=0$ , donc par différence on obtient

$\lim_{x \to 0} k(x)=0 - (+\infty) = -\infty$ .

Pour la limite en +oo, utilise la factorisation donnée.

SoSMath.

par **sos-math(21)** » jeu. 24 févr. 2022 12:30

Bonjour,
ok pour la c, mais pour la 2, tu as fait une erreur : c'est le logarithme qui est au carré, pas les

$x$ à l'intérieur du logarithme donc tu ne peux pas faire "descendre" l'exposant 2.
Tu peux déterminer la limite de

$4x-\left(\ln(x)\right)^2$ en

$0$ directement : tu sais que

$\displaystyle\lim_{x\to 0,x>0}\ln(x)=-\infty$ donc

$\displaystyle\lim_{x\to 0,x>0}\left(\ln(x)\right)^2=+\infty$ et ensuite c'est facile.
Pour la limite en

$+\infty$ , il faut reprendre l'aide de mon collègue.
Bonne continuation

par **Hervé** » jeu. 24 févr. 2022 12:20

Pour la C je trouve que la limite en 0 et 0 et en développant h(x) qui devient h(x)=x(ln(x)-2) je trouve que la limite en + l'infini et + l'infini.
Pour la D en développant k(x) qui devient k(x)=4x-2ln(x) je trouve que la limite en 0 et + l'infini.

par **SoS-Math(9)** » mer. 23 févr. 2022 21:22

Bonsoir Hervé,

Pour la c et la d, les limites en 0 ne donnent pas de forme indéterminée, donc il suffit d'appliquer les résultats sur les limites usuelles.

$\lim_{x \to 0} xln(x)=...$ et

$\lim_{x \to 0} 2x=...$ donc par soustraction

$\lim_{x \to 0} h(x)=...$ ... je te laisse compléter.

Même méthode pour k(x) en 0.

En +oo, tu as une forme indéterminée, donc il faut transformer l'écriture de tes fonctions ... et comme elles sont développées alors il faut essayer avec une factorisation.
Voici le début : h(x) = x(.... - ...) ... je te laisse compléter puis en déduire les limites

Pour k, c'est beaucoup plus difficile ... il faut aussi mettre x en facteur mais c'est après que cela devient plus difficile :

$k(x) = x(4 - \frac{(ln(x))^2}{x})$

$= x(4 - \frac{(ln(x))^2}{\sqrt{x}^2})$

$= x(4 - (\frac{ln(x)}{\sqrt{x}})^2)$

$= x(4 - (\frac{ln(\sqrt{x}^2)}{\sqrt{x}})^2)$

$= x(4 - (\frac{2ln(\sqrt{x})}{\sqrt{x}})^2)$

$= x(4 - 2^2(\frac{ln(\sqrt{x})}{\sqrt{x}})^2)$

$= x(4 - 4(\frac{ln(\sqrt{x})}{\sqrt{x}})^2)$
Avec cette expression de k, tu dois pouvoir déterminer la limite de k en +oo

Bon courage,
SoSMath.

par **Hervé** » mer. 23 févr. 2022 20:55

D'accord merci beaucoup par contre je suis complètement bloquée pour la C et la D

par **sos-math(21)** » mer. 23 févr. 2022 20:41

Je me rends compte que je me suis trompé d'expression pour la a).
On a

$f(x)=x-3\ln(x)$ .
La limite en

$0^+$ est bien égale à

$+\infty$ .
En

$+\infty$ , il faut factoriser par

$x$ :

$f(x)=x\left(1-3\dfrac{\ln(x)}{x}\right)$
et utiliser la limite du cours (croissance comparée) :

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$ le deuxième facteur tend vers 1 et tu auras

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$ .
Bonne conclusion

par **Hervé** » mer. 23 févr. 2022 20:34

Ah d'accord j'ai compris mon erreur.
Par contre pour la A c'est f(x)=x-3ln(x) et je trouve + l'infini en 0 mais je ne trouve pas en + l'infini.

par **SoS-Math(33)** » mer. 23 févr. 2022 19:50

Il y a une erreur dans ta réponse

$\lim_{x \to 0} (2-x)= 2$ et

$\lim_{x \to 0} ln(x)= -\infty$ donc

$\lim_{x \to 0} (2-x)ln(x) = -\infty$

$\lim_{x \to +\infty} (2-x)= -\infty$ et

$\lim_{x \to -\infty} ln(x)= +\infty$ donc

$\lim_{x \to +\infty} (2-x)ln(x) = -\infty$
SoS-math

par **Hervé** » mer. 23 févr. 2022 19:06

Pour la b je trouve +l'infini et - l'infini

par **sos-math(21)** » mer. 23 févr. 2022 18:00

Il s'agit de déterminer les limites de fonctions aux bornes de leur domaine de définition.
Il faut déjà connaitre les limites de la fonction logarithme aux bornes de son domaine :

$\lim_{x\to 0\, x>0}\ln(x)=-\infty$ et

$\lim_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ .
Pour ta première fonction définie par

$f(x)=3-\ln(x)$ , il n'y a pas de problème, tu as :

$\lim_{x\to 0\, x>0}3-\ln(x)=+\infty$ et

$\lim_{x\to +\infty}3-\ln(x)=-\infty$ car on prend

$-\ln(x)$ .
Pour la deuxième, il faut décomposer avec les deux facteurs.
Pour la c et la d, c'est un peu plus difficile.
Je te laisse y réfléchir un peu.

par **Hervé** » mer. 23 févr. 2022 17:45

Excusez-moi je me suis trompé je vous ai envoyé le mauvais document c'est l'exercice 106.

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