Celine a écrit : ↑mar. 25 janv. 2022 18:42
Bonjour, voici mon dm pour lequel j’ai besoin de votre aide, (je précise ma prof sanctionne le moindre oublie de détail il faut que je justifie chacune des limites pour trouver la limite finale). Merci d’avance !
Exercice 1
fest la fonction définie sur R par f(x) = (2x - 1)e3-*
1) Calculer lim f (x)
x->-00
On admettra que lim f(x) = 0.
x->+00
2) Montrer que f' (x) = (3-2x) e^3-x
3) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.
4) Etudier la convexité de f sur R et donner, s'il y a lieu, ses points d'inflexion.
Exercice 2
Calculer les limites ou dérivées suivantes :
Pour les limites calculées, donner, s'il y a lieu, la conséquence graphique.
a) lim e^x-2/e^x
x->+oo
b) lim 4e^x -3/-2e^x+2
x->+oo
c) lim 7x + 3/x+2
x->-2
x<-2
d) lim e-5x+2 et f’(x) quand f(x) = e-5x+2
x->-+oo
e) f'(x) quand f(x): 1/e^x+1
Mes réponses :
Ex 1 :
f(x) = (2x-1)e^3-x
1) Lim(Pour x->-oo)
Lim (2x-1) = - oo car lim x= -oo
Et Lim e^3-x = 3 car lim e^x = 0
et lim 3-x = 3 car lim -x = lim 1/x = 0
Par produit lim f(x) = - oo
2) f’(x) = 2e^3-x + (2x-1)-e^3-x
= 2e^3-x -2xe^3-x + e^3-x
= 3e^3-x -2xe^3-x
f’(x) = (3-2x)e^3-x
3) Pour tout x appartenant a R, e^3-x>0 donc f est du signe de (3-2x)
Avec x = 3/-2 De [0;3/2] f est croissante
De [3/2;+oo[ f est décroissante
4) f’’(x) = -2e^3-x + (3-2x)-e^3-x
= -2e^3-x -3e^3-x -2xe^3-x
= -5e^3-x -2xe^3-x
= e^3-x (-5+2x)
Pour tout x appartenant à R, e^3-x>0 donc f est du signe de (-5+2x)
Avec x = 5/2 f’´(x) decroissante sur [0;5/2] concave
f’´(x) croissante sur [5/2;+oo[ convexe
Merciiii ( ps : vous savez comment envoyer une photo sans qu’elle soit trop lourde ?) ça sera bcp plus simple pour l’ex 2
