par sos-math(21) » sam. 1 janv. 2022 12:18
Bonjour,
la fonction arcsinus est la fonction réciproque de la fonction sinus restreinte à l'intervalle \(\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\).
Cela signifie que pour tout réel \(x\in\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\), \(arcsin(sin(x))=x\).
Une deuxième propriété utile dans cet exercice est la périodicité de la fonction sinus : pour tout entier \(k\), pour tout réel \(x\), \(\sin(x+2k\pi)=\sin(x)\).
Une troisième propriété utile dans cet exercice est la symétrie du sinus (symétrie axiale d'axe \((Oy)\) dans le cercle trigonométrique : pour tout réel \(x\), \(\sin(\pi-x)=\sin(x)\).
Pour justifier les identités de l'exercice, il faut donc se ramener à l'intervalle \(\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\) et utiliser les propriétés vues au-dessus.
Si \(x\in\left[-\dfrac{3\pi}{2}\,;\,-\dfrac{\pi}{2}\right]\), alors \(-\dfrac{3\pi}{2}\leqslant x\leqslant -\dfrac{\pi}{2}\) donc \(\dfrac{\pi}{2}\leqslant -x\leqslant \dfrac{3\pi}{2}\) et \(\dfrac{3\pi}{2}\leqslant \pi -x\leqslant \dfrac{5\pi}{2}\) donc \(-\dfrac{\pi}{2}\leqslant \pi -x-2\pi\leqslant \dfrac{\pi}{2}\) donc on est dans le bon intervalle et on a \(arcsin(sin(\pi -x-2\pi))=\pi -x-2\pi=-\pi-x\).
Or on a par périodicité et symétrie du sinus dans le cercle trigonométrique \(\sin(\pi-x-2 \pi)\underbrace{=}_{\text{périodicité}}\sin(\pi-x)\underbrace{=}_{\text{symétrie}}\sin(x)\) donc on a bien au final : \(arcsin(\sin(x))=-\pi-x\).
Pour l'intervalle \(\left[-\dfrac{5\pi}{2}\,;\,-\dfrac{3\pi}{2}\right]\), on réutilise la périodicité : si \(x\in\left[-\dfrac{5\pi}{2}\,;\,-\dfrac{3\pi}{2}\right]\), alors \(x+2\pi\in \left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\) donc \(arcsin(sin(x+2\pi))=x+2\pi\), or \(\sin(x+2\pi) = \sin(x)\) donc au final, \(arcsin(sin(x+2\pi))=x+2\pi=arcsin(sin(x))\).
Pour les autres intervalles, les mêmes raisonnements sont utilisés.
Je te laisse terminer.
Bonjour,
la fonction arcsinus est la fonction réciproque de la fonction sinus restreinte à l'intervalle \(\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\).
Cela signifie que pour tout réel \(x\in\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\), \(arcsin(sin(x))=x\).
Une deuxième propriété utile dans cet exercice est la périodicité de la fonction sinus : pour tout entier \(k\), pour tout réel \(x\), \(\sin(x+2k\pi)=\sin(x)\).
Une troisième propriété utile dans cet exercice est la symétrie du sinus (symétrie axiale d'axe \((Oy)\) dans le cercle trigonométrique : pour tout réel \(x\), \(\sin(\pi-x)=\sin(x)\).
Pour justifier les identités de l'exercice, il faut donc se ramener à l'intervalle \(\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\) et utiliser les propriétés vues au-dessus.
Si \(x\in\left[-\dfrac{3\pi}{2}\,;\,-\dfrac{\pi}{2}\right]\), alors \(-\dfrac{3\pi}{2}\leqslant x\leqslant -\dfrac{\pi}{2}\) donc \(\dfrac{\pi}{2}\leqslant -x\leqslant \dfrac{3\pi}{2}\) et \(\dfrac{3\pi}{2}\leqslant \pi -x\leqslant \dfrac{5\pi}{2}\) donc \(-\dfrac{\pi}{2}\leqslant \pi -x-2\pi\leqslant \dfrac{\pi}{2}\) donc on est dans le bon intervalle et on a \(arcsin(sin(\pi -x-2\pi))=\pi -x-2\pi=-\pi-x\).
Or on a par périodicité et symétrie du sinus dans le cercle trigonométrique \(\sin(\pi-x-2 \pi)\underbrace{=}_{\text{périodicité}}\sin(\pi-x)\underbrace{=}_{\text{symétrie}}\sin(x)\) donc on a bien au final : \(arcsin(\sin(x))=-\pi-x\).
Pour l'intervalle \(\left[-\dfrac{5\pi}{2}\,;\,-\dfrac{3\pi}{2}\right]\), on réutilise la périodicité : si \(x\in\left[-\dfrac{5\pi}{2}\,;\,-\dfrac{3\pi}{2}\right]\), alors \(x+2\pi\in \left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\) donc \(arcsin(sin(x+2\pi))=x+2\pi\), or \(\sin(x+2\pi) = \sin(x)\) donc au final, \(arcsin(sin(x+2\pi))=x+2\pi=arcsin(sin(x))\).
Pour les autres intervalles, les mêmes raisonnements sont utilisés.
Je te laisse terminer.
