Bonjour,
la fonction \(\theta \mapsto \sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\) est croissante sur \([0\,;\,\pi]\) donc les deux grandeurs évoluent dans le même sens.
Donc le maximum est atteint lorsque \(\theta\) est aussi au maximum et inversement : la mesure de \(\theta\) est maximale lorsque celle de \(\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\) est maximale.
De plus, en travaillant dans le plan formé par le triangle \(MIJ\), en notant \(H\) le pied de la hauteur issue de \(M\), on a \(H\) milieu de \([IJ]\) du fait que le triangle soit isocèle. Pour les mêmes raisons la hauteur est aussi bissectrice et on peut appliquer le sinus dans un des triangles rectangles :
Tu as donc \(\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)=\dfrac{HI}{MI}=\dfrac{0,5IJ}{MI}\)
Comme le sinus est égal au quotient, que le numérateur est fixe et que \(MI\) est au dénominateur, les deux grandeurs évoluent en sens inverse (c'est lié aux sens de variation de la fonction inverse) : à numérateur constant, plus un dénominateur (positif) est grand plus le quotient est petit.
On a donc la réponse à la question b.
La recherche de l'angle maximal est donc "transférée" à la recherche du minimum de \(IM^2=3t^2-t+\dfrac{1}{4}\) sur \([0,1]\).
Je te laisse poursuivre.
