par sos-math(21) » dim. 12 sept. 2021 11:15
Bonjour,
pour l"hérédité, comme l'a dit mon collègue, il faut d'abord faire le lien entre 2k et 2k+1. L'exposant d'une puissance compte le nombre de facteurs du même nombre que l'on multiplie entre eux. donc 2k=2×2×…×2⏟kfacteurs
et 2k+1=2×2×…×2⏟k+1facteurs donc on a bien 2k+1=2k×2 donc si on suppose pour l'hérédité qu'à un certain rang k⩾, on a 2^k\geqslant k^2 (hypothèse de récurrence), alors en multipliant tout par 2, on a
2\times 2^{k}\geqslant 2k^2 soit 2^{k+1}\geqslant 2k^2.
Il reste ensuite à prouver que 2k^2\geqslant (k+1)^2.
Une manière de le prouver est de former la différence 2k^2-(k+1)^2 et de prouver que cette différence est positive.
Je te laisse étudier le signe de cette expression pour k\geqslant 4.
Bonne continuation
Bonjour,
pour l"hérédité, comme l'a dit mon collègue, il faut d'abord faire le lien entre [TeX]2^k[/TeX] et 2^{k+1}. L'exposant d'une puissance compte le nombre de facteurs du même nombre que l'on multiplie entre eux. donc 2^k=\underbrace{2\times 2\times \ldots\times 2}_{k\,\text{facteurs}}
et 2^{k+1}=\underbrace{2\times 2\times \ldots\times 2}_{k+1\,\text{facteurs}} donc on a bien 2^{k+1}=2^k\times 2 donc si on suppose pour l'hérédité qu'à un certain rang k\geqslant 4, on a 2^k\geqslant k^2 (hypothèse de récurrence), alors en multipliant tout par 2, on a
2\times 2^{k}\geqslant 2k^2 soit 2^{k+1}\geqslant 2k^2.
Il reste ensuite à prouver que 2k^2\geqslant (k+1)^2.
Une manière de le prouver est de former la différence 2k^2-(k+1)^2 et de prouver que cette différence est positive.
Je te laisse étudier le signe de cette expression pour k\geqslant 4.
Bonne continuation
