Bonjour,
je viens de valider le message d'Invité qui reprend le mécanisme de la récurrence.
En espérant que cela t'aide.
Bonne continuation

Lala a écrit : ↑

jeu. 11 févr. 2021 18:45

Merci beaucoup pour votre aide !

Cependant, je n’arrive pas à comprendre comment nous obtenons la deuxième partie de l’encadrement.

Bonjour
Par hypothèse : 0<= 1-vn <= (1/2)^n au rang n>=0
Au rang n+1: 1-v(n+1) = [ 2/(4+v(n)] (1-v(n) )
Comme 0<=1-v(n)<= (1/2)^n alors
0<= 1-v(n+1) <= [2/(4+v(n) ](1/2)^n

Or v(n) >=0 d'après définition de vn,donc 2/(4+v(n) <=2/4=1/2 pour tout n dans N et par suite :
[2/(4+v(n)](1/2)^n <= 1/2 (1/2)^n soit (1/2)^(n+1)

Je comprends votre raisonnement. Cependant, à un moment, vous indiquez que 1-Vn<(1/2)^n (parce que nous l’avons supposé), mais vous concluez que 1/2(1-Vn) = 1/2 * (1/2)^n. Je ne comprends juste pas pourquoi nous multiplions par (1/2)^n, alors que nous avons juste dit que 1-Vn<(1/2)^n.

Je ne sais pas si mon explication est claire, je m’en excuse.

Bonjour,
Si tu relis bien mon message, tu verras que j’ai essayé d’expliquer en quoi la première question t’aidait dans la récurrence.
Reprends mes explications (début du message) à tête reposée et si tu ne comprends toujours pas, renvoie un message en précisant où tu bloques.
Bonne continuation

Merci beaucoup pour votre aide !

Cependant, je n’arrive pas à comprendre comment nous obtenons la deuxième partie de l’encadrement.

Bonjour,
à la question précédente, on te demande de montrer que $1-v_{n+1}= \left(\dfrac{2}{4+v_n}\right)(1-v_n)$.
Comme ta fonction $f$ est à valeurs strictement positives, ta suite $v_n$ est strictement positive (en toute rigueur, il faudrait le prouver par récurrence).
Ainsi $\dfrac{2}{4+v_n}\leqslant \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$ et on a $1-v_{n+1}\leqslant \dfrac{1}{2}(1-v_n)$.
Donc quand tu fais ta démonstration par récurrence, l'initialisation ne pose pas de problème.
Pour l'hérédité : on se place à un rang $n$ quelconque et on suppose que la propriété $\mathcal{P}_n\,:\,0\leqslant 1-v_n\leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$
Ensuite, on reprend l'égalité vue à la question précédente : la relation $1-v_{n+1}=\left(\dfrac{2}{4+v_n}\right)(1-v_n)$ assure que $1-v_{n+1}\geqslant 0$ (première partie de l'encadrement) et l'inégalité que l'on a obtenue permet d'avoir la deuxième partie de l'encadrement :
$0\leqslant 1-v_{n+1}\leqslant \dfrac{1}{2}\underbrace{(1-v_n)}_{\leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \text{hyp. recur.}}$
Finalement, on a :
$0\leqslant 1-v_{n+1}\leqslant \dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ soit $0\leqslant 1-v_{n+1}\leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$
ce qui prouve bien $\mathcal{P}_{n+1}$ et assure l'hérédité.
Il reste ensuite à conclure : par récurrence, on a bien $\mathcal{P}_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.
Est-ce plus clair ?

Bonsoir,

Je n’arrive pas à résoudre une question dans un exercice type bac. C’est la question 2.b) de la deuxième partie de l’exercice 4 (pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité).

https://www.apmep.fr/IMG/pdf/S_Metropol ... 019_DV.pdf

J’ai réussi l’initialisation, mais je suis bloquée à l’hérédité.

Pourriez-vous m’aider s’il vous plaît ?

Merci !