par sos-math(21) » mar. 12 janv. 2021 21:46
Bonjour,
les questions a et b recherchent les coefficients de Fourier pour de la fonction pour obtenir le développement de celle-ci en série de Fourier.
La fonction étant de classe \(\mathcal{C}^1\) par morceaux, le théorème de Dirichlet assure la convergence de la série de Fourier vers \(f\)
En prenant une valeur particulière de \(t=0\), on a \(f(0)=0\) donc \(\dfrac{1}{2}-\sum_{n\geqslant 0}\dfrac{-4}{\pi^2(2n+1)^2}=0\) donc en transposant :
\(\sum_{n\geqslant 0}\dfrac{1}{(2n+1)^2}=\dfrac{\pi^2}{8}\).
Ensuite, on décompose la somme en deux sous-sommes d'inverses des entiers pairs et impairs :
\(\sum_{n\geqslant 0}\dfrac{1}{n^2}=\sum_{n\geqslant 0}\dfrac{1}{(2n)^2}+\sum_{n\geqslant 0}\dfrac{1}{(2n+1)^2}=\dfrac{1}{4}\sum_{n\geqslant 0}\dfrac{1}{n^2}+\sum_{n\geqslant 0}\dfrac{1}{(2n+1)^2}\)
En notant \(S=\sum_{n\geqslant 0}\dfrac{1}{n^2}\), et en remplaçant la somme des impairs par sa valeur, on a
on a \(S=\dfrac{S}{4}+\dfrac{\pi^2}{8}\).
En résolvant cette équation d'inconnue \(S\), on retrouve bien la somme connue :
\(S=\dfrac{\pi^2}{6}\).
Bonne continuation
Bonjour,
les questions a et b recherchent les coefficients de Fourier pour de la fonction pour obtenir le développement de celle-ci en série de Fourier.
La fonction étant de classe \(\mathcal{C}^1\) par morceaux, le théorème de Dirichlet assure la convergence de la série de Fourier vers \(f\)
En prenant une valeur particulière de \(t=0\), on a \(f(0)=0\) donc \(\dfrac{1}{2}-\sum_{n\geqslant 0}\dfrac{-4}{\pi^2(2n+1)^2}=0\) donc en transposant :
\(\sum_{n\geqslant 0}\dfrac{1}{(2n+1)^2}=\dfrac{\pi^2}{8}\).
Ensuite, on décompose la somme en deux sous-sommes d'inverses des entiers pairs et impairs :
\(\sum_{n\geqslant 0}\dfrac{1}{n^2}=\sum_{n\geqslant 0}\dfrac{1}{(2n)^2}+\sum_{n\geqslant 0}\dfrac{1}{(2n+1)^2}=\dfrac{1}{4}\sum_{n\geqslant 0}\dfrac{1}{n^2}+\sum_{n\geqslant 0}\dfrac{1}{(2n+1)^2}\)
En notant \(S=\sum_{n\geqslant 0}\dfrac{1}{n^2}\), et en remplaçant la somme des impairs par sa valeur, on a
on a \(S=\dfrac{S}{4}+\dfrac{\pi^2}{8}\).
En résolvant cette équation d'inconnue \(S\), on retrouve bien la somme connue :
\(S=\dfrac{\pi^2}{6}\).
Bonne continuation
