suites recurrente

par **SoS-Math(9)** » mar. 3 nov. 2020 16:51

Bonsoir Julie,

Le problème vient du fait que ta fonction f n'est pas continue (il y a deux morceaux de courbes).
Pour pouvoir utiliser cette propriété, il faut que si x

$\in$ [a ; b], alors f(x)

$\in$ [a ; b] avec f continue sur [a ; b].
C'est pour cela que la propriété à démontrer est 0

$\leq$ u(n+1)

$\leq$ u(n)

$\leq$ 1 et non u(n+1)

$\leq$ u(n).
0

$\leq$ u(n+1)

$\leq$ u(n)

$\leq$ 1 veut dire u(n+1)

$\leq$ u(n) avec u(n+1) et u(n)

$\in$ [0 ; 1].

Si tu travailles sur ]8/5 ; + infini[, on a bien u0 = 5

$\in$ ]8/5 ; + infini[,
mais u1 = f(u0) = (3-5)/(8-5*5) = 2/17

$\approx$ 0,1

$\notin$ ]8/5 ; + infini[ donc cette méthode n'est pas utilisable sur ]8/5 ; + infini[.

SoSMath.

par **Invité** » mar. 3 nov. 2020 15:30

SoS-Math(9) a écrit : ↑
lun. 2 nov. 2020 21:18
Julie,

Le fait de changer le terme u0, change les autres termes de la suite et donc cela peut changer les variations de la suites.
.De plus si tu prends u0 = 5, alors u0 $\notin$ [0 ; 1], or on sait que f est croissante sur [0 ; 1] mais on ne sait pas sur un intervalle qui contient 5 ... pour savoir il faut faire l'étude complète sur son ensemble de définition.

SoSMath.

Mais la fonction est croissante sur ]8/5, + infini[
Et 5 appartient à cette interval

par **Invité** » mar. 3 nov. 2020 15:18

SoS-Math(33) a écrit : ↑
lun. 2 nov. 2020 22:05
Bonsoir Julie,
tu ne peux pas te faire une idée pour ta récurrence sur le calcul que des deux premiers termes, il faut en calculer plusieurs.
Ici si tu parts avec U0=5 tu vas avoir U1<U0 mais ensuite U2>U1 puis U3>U2 donc pour ton initialisation il faut partir de U1 et non U0 ainsi tu montreras le résultat sur N*
Comprends tu?
SoS-math

Bonjour ce que je comprend c'est que la démarche qu'on m'a proposé n'est pas la bonne
Parce que elle marche pour u0=1 mais pas pour une autre valeur pourtant toutes les étape sont vrais
Si on doit calculé plusieurs termes pour se faire idée pour la récurrence alors l'hypothèse u(n+1)<=u(n) n'est pas toujours vrai parce que on sait pas combien de terme il faut calculer
Merci

par **SoS-Math(33)** » lun. 2 nov. 2020 22:05

Bonsoir Julie,
tu ne peux pas te faire une idée pour ta récurrence sur le calcul que des deux premiers termes, il faut en calculer plusieurs.
Ici si tu parts avec U0=5 tu vas avoir U1<U0 mais ensuite U2>U1 puis U3>U2 donc pour ton initialisation il faut partir de U1 et non U0 ainsi tu montreras le résultat sur N*
Comprends tu?
SoS-math

par **Invité** » lun. 2 nov. 2020 21:48

SoS-Math(9) a écrit : ↑
lun. 2 nov. 2020 21:18
Julie,

Le fait de changer le terme u0, change les autres termes de la suite et donc cela peut changer les variations de la suites.
.De plus si tu prends u0 = 5, alors u0 $\notin$ [0 ; 1], or on sait que f est croissante sur [0 ; 1] mais on ne sait pas sur un intervalle qui contient 5 ... pour savoir il faut faire l'étude complète sur son ensemble de définition.

SoSMath.

Ma question :pourquoi :
Uo=1 . Uo=5
U1<u0 vrai . . .......idem
Hyp un+1<=un vrai ... idem
f croissante donc . .idem

Un+2<=un+1 ca marche ça marche pas.?
Pourtant j'ai utilisé même conseil le votre.

par **SoS-Math(9)** » lun. 2 nov. 2020 21:18

Julie,

Le fait de changer le terme u0, change les autres termes de la suite et donc cela peut changer les variations de la suites.
.De plus si tu prends u0 = 5, alors u0

$\notin$ [0 ; 1], or on sait que f est croissante sur [0 ; 1] mais on ne sait pas sur un intervalle qui contient 5 ... pour savoir il faut faire l'étude complète sur son ensemble de définition.

SoSMath.

par **Invité** » lun. 2 nov. 2020 19:39

SoS-Math(9) a écrit : ↑
lun. 2 nov. 2020 18:57
Julie,

ce sont tes calculs qui sont faux ... u1 = (3-1)/(8-5*1) = 2/3 (environ 0,67)
puis u2 = (3-2/3)/(8-5*2/3) = 1/2 = 0,5

On a donc bien u0=1 > u1=2/3 > u2=1/2

SoSMath.

Ici on prend u0=5 et non1
Avec u0= 1 c'est fait
Ici u0=5 si on utilise la même démarche ça coince
Puisque u1=2/7 pour u0=5
U1<=u0 vrai
Supposons un+1<=un vrai
Hérédité : croissante alors f(u(n+1))<=f(u(n))
Donc u(n+2)<=u(n+1)
Maus le calcul.de u1 u2 u3... montre que c'est le contraire
Ici u0=5
Merci

par **SoS-Math(9)** » lun. 2 nov. 2020 18:57

Julie,

ce sont tes calculs qui sont faux ... u1 = (3-1)/(8-5*1) = 2/3 (environ 0,67)
puis u2 = (3-2/3)/(8-5*2/3) = 1/2 = 0,5

On a donc bien u0=1 > u1=2/3 > u2=1/2

SoSMath.

par **Invité** » lun. 2 nov. 2020 17:31

SoS-Math(34) a écrit : ↑
lun. 2 nov. 2020 16:49
Bonjour Julie,

Il me semble que d'après ton énoncé, $u_{0}=1$ alors que tu as utilisé $u_{0}=5$ .
Ainsi : $u_{1}=\frac{3-1}{8-5\times 1}=\frac{2}{3}$
De la même façon, $u_{2}=0,5$ ...
Ainsi, L'observation des premiers termes montre qu'il n'y a pas d'incohérence avec ce que tu as démontré, la suite est bien décroissante.

Bonne continuation,
Sosmaths

Bonjour oui, mais si u0=5 on doit arriver à la même conclusion
U0=5 , u1=f(u0)=2/7
Donc u1<=u0 vrai
Hypothèse u(n+1)<=u(n) vrai
Hérédité f croissante donc f(u(n+1))<=f(u(n))
Donc u(n+2)<=u(n+1)
Conclusion u(n+1)<=u(n) pour tout.n
Mais le calcul de u1 u2 u3 .... montre le contraire
Pourtant j'ai suivit les conseil de vos collègues à moins que je me trompe quel que part ?

Merci de votre réponse

par **SoS-Math(34)** » lun. 2 nov. 2020 16:49

Bonjour Julie,

Il me semble que d'après ton énoncé,

$u_{0}=1$ alors que tu as utilisé

$u_{0}=5$ .
Ainsi :

$u_{1}=\frac{3-1}{8-5\times 1}=\frac{2}{3}$
De la même façon,

$u_{2}=0,5$ ...
Ainsi, L'observation des premiers termes montre qu'il n'y a pas d'incohérence avec ce que tu as démontré, la suite est bien décroissante.

Bonne continuation,
Sosmaths

par **Invité** » lun. 2 nov. 2020 12:08

Invité a écrit : ↑
dim. 1 nov. 2020 11:51

sos-math(21) a écrit : ↑
dim. 1 nov. 2020 08:44
Bonjour,
si tu as démontré la croissance de $f$ sur $[0\,;\,1]$ , alors tu as fait le plus difficile.
En effet, une fonction croissante est une fonction qui "respecte l'ordre" c'est à dire que les images sont dans le même ordre que les nombres de départ. D'un point de vue plus formel si tu prends deux réels $a$ et $b$ de l'intervalle $[0\,;\,1]$ , tels que $a<b$ , alors si $f$ est croissante sur $[0\,;\,1]$ , on a $f(a)\leqslant f(b)$ : c'est exactement ce que te propose mon collègue pour montrer l'hérédité.
Bonne continuation
Merci pour votre réponse
Si u0=5 alors u1=f(u0)=2/7
Donc
Au rang 1 u1<= u0
Supposons u(n+1)<=u(n)
Hérédité f est croissante donc f(u(n+1))<=f(u(n))
donc u(n+2)<=u(n+1)
Estce que c'est correct

-----------

bonjour,
je réponds dans ton message car le forum est fermé.
Oui c'est correct !

Bon courage,
SoSMath.

bonjour pour u0=5
on a bien u1=f(u0)=2/7
donc u1<u0
je suppose que u(n+1)<u(n) soit vrai
hérédité: je fait f(u(n+1))<f(u(n) puisque f est croissante
donc u(n+2)<u(n+1)
je conclut que u(n+1)<u(n) est vrai pour tout n naturel
Mais en calculant les 5 premiers terme je trouve u2>u1 u3>u2 u4>u3
c'est complétement le contraire
je voit l'erreur
merci

par **Invité** » dim. 1 nov. 2020 11:51

sos-math(21) a écrit : ↑
dim. 1 nov. 2020 08:44
Bonjour,
si tu as démontré la croissance de $f$ sur $[0\,;\,1]$ , alors tu as fait le plus difficile.
En effet, une fonction croissante est une fonction qui "respecte l'ordre" c'est à dire que les images sont dans le même ordre que les nombres de départ. D'un point de vue plus formel si tu prends deux réels $a$ et $b$ de l'intervalle $[0\,;\,1]$ , tels que $a<b$ , alors si $f$ est croissante sur $[0\,;\,1]$ , on a $f(a)\leqslant f(b)$ : c'est exactement ce que te propose mon collègue pour montrer l'hérédité.
Bonne continuation

Merci pour votre réponse
Si u0=5 alors u1=f(u0)=2/7
Donc
Au rang 1 u1<= u0
Supposons u(n+1)<=u(n)
Hérédité f est croissante donc f(u(n+1))<=f(u(n))
donc u(n+2)<=u(n+1)
Estce que c'est correct

-----------

bonjour,
je réponds dans ton message car le forum est fermé.
Oui c'est correct !

Bon courage,
SoSMath.

par **sos-math(21)** » dim. 1 nov. 2020 08:44

Bonjour,
si tu as démontré la croissance de

$f$ sur

$[0\,;\,1]$ , alors tu as fait le plus difficile.
En effet, une fonction croissante est une fonction qui "respecte l'ordre" c'est à dire que les images sont dans le même ordre que les nombres de départ. D'un point de vue plus formel si tu prends deux réels

$a$ et

$b$ de l'intervalle

$[0\,;\,1]$ , tels que

$a<b$ , alors si

$f$ est croissante sur

$[0\,;\,1]$ , on a

$f(a)\leqslant f(b)$ : c'est exactement ce que te propose mon collègue pour montrer l'hérédité.
Bonne continuation

par **Invité** » dim. 1 nov. 2020 07:09

SoS-Math(9) a écrit : ↑
dim. 1 nov. 2020 00:07
Bonsoir Julie,

j'ai bien compris ...
* Pour le 1er rang, je te laisse vérifier que 0 <= u1 <= u0 <= 1.
* hérédité : ton hypothèse de récurrence est 0<=U(n+1)<=Un<=1.
Après avoir montré que f est croissante sur [0 ; 1], tu as alors f(0) <= f(u(n+1)) <= f(u(n)) <= f(1) qui donne f(0) <= f(u(n+1)) <= f(u(n)) <= f(1)
et comme 0 <= f(0) = 3/8 et f(1)==2/3 <1, alors 0<= u(n+2) <= n(n+1) <= 1. Donc tu as montré le rang (n+1). Ce qui prouve l'hérédité.
* reste à faire la conclusion.

SoSMath.

Bonjour pour 0<=u(n)<=1 ok
Mais u(n+1)<=u(n) vraie par hypothèse
Donc f(u(n+1))<=f(u(n)) donc u(n+2)<=u(n+1)
je voit pas comment c'est possible j'ai rien démontré

Merci

par **SoS-Math(9)** » dim. 1 nov. 2020 00:07

Bonsoir Julie,

j'ai bien compris ...
* Pour le 1er rang, je te laisse vérifier que 0 <= u1 <= u0 <= 1.
* hérédité : ton hypothèse de récurrence est 0<=U(n+1)<=Un<=1.
Après avoir montré que f est croissante sur [0 ; 1], tu as alors f(0) <= f(u(n+1)) <= f(u(n)) <= f(1) qui donne f(0) <= f(u(n+1)) <= f(u(n)) <= f(1)
et comme 0 <= f(0) = 3/8 et f(1)==2/3 <1, alors 0<= u(n+2) <= n(n+1) <= 1. Donc tu as montré le rang (n+1). Ce qui prouve l'hérédité.
* reste à faire la conclusion.

SoSMath.

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